호몰로지 대수학에서 Tor 함자(Tor函子, 영어: Tor functor)는 가군 텐서곱 함자의 유도 함자다.
이 (단위원을 가진) 환이고,
이
에 대한 왼쪽 가군들의 범주,
이
에 대한 오른쪽 가군들의 범주라고 하자. 이 범주들은 아벨 범주를 이룬다.
오른쪽 가군
와 왼쪽 가군
의 텐서곱을 취하여 아벨 군
를 취할 수 있다. 이 텐서곱 연산
는 쌍함자(bifunctor)를 이룬다. 여기서
는 아벨 군들의 범주다.
는 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 그 왼쪽 유도 함자
를 취할 수 있다. 마찬가지로,
또한 오른쪽 완전 함자이며, 따라서 왼쪽 유도 함자
를 취할 수 있다. 이 둘은 사실 같은 쌍함자를 이룬다. 즉,
![{\displaystyle L^{i}(A\otimes _{R})B=A(L^{i}\otimes _{R}B)=\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c5c1be095ff085bfce8ad83cb3f438a15ad272)
이다. 이 쌍함자
를 Tor 함자라고 한다.
Tor 함자는 직합을 보존한다. 즉,
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i},\bigoplus _{j\in J}N_{j}\right)=\bigoplus _{i\in I}\bigoplus _{j\in J}\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M_{i},N_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6c2407e543de112618d2670f8034ac3e075dd8)
이다.
만약
가 가환환인 경우, 다음과 같은 표준적인 동형이 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)\cong \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56ef0aaa7cdabc6e9de2b9bb5d79d988402931b)
또한, 이 경우
은
위의 가군의 구조를 갖는다.
만약
가 가환환이며,
가 영인자가 아닐 때, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/(r),M)=\ker(r\cdot )=\{m\in M\colon rm=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26718ac0c8379ebaa0dfd14f377f12901761aaa8)
벡터 공간[편집]
체
위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이다. 즉, 벡터 공간
의 사영 분해는 자명하다.
![{\displaystyle 0\to P_{0}=V\to V\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a800fedf51eb858ea7222da9acf13fd8753ff3e)
따라서,
위의 벡터 공간
,
가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{K}(V,W)=V\otimes _{K}W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0279a04e393c6dd0ad0b07ca2a5e5ff93ab5891f)
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{K}(V,W)=0\qquad \forall n>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6e6a8cd46407bf676fd0c5a6ce312247741a33)
아벨 군[편집]
정수환
위의 가군의 범주에서의 Tor 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군
는 자유 아벨 군
의 몫군
으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.
![{\displaystyle 0\to G\to P^{0}\to P^{1}\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31b5cdbcc4a1792fc8fc568b8a24ce75dddb3b4)
아벨 군
,
가 주어졌을 때, Tor 함자는 다음과 같다.
의 사영 분해가
![{\displaystyle 0\to P^{1}{\xrightarrow {\iota }}P_{0}\to G\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d36238aabbaca47349f7faf16866f041e88b144)
이라면, Tor 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.
![{\displaystyle 0\to P_{1}\otimes _{\mathbb {Z} }H{\xrightarrow {\iota \otimes _{\mathbb {Z} }\operatorname {id} }}P_{0}\otimes _{\mathbb {Z} }H\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce4a875d4db5c49def6f6c7ef229f315d6b42c5)
따라서,
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{\mathbb {Z} }(G,H)\cong G\otimes _{\mathbb {Z} }H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b951666922180948db9a41769f5cf5d3bc1e4798)
이며,
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(G,H)\cong \ker(\iota \otimes _{\mathbb {Z} }\operatorname {id} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde31fa721e2f594eecf9e3c1b0f5c6d6ff375be)
이다. 특히,
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ,H)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36b39c398d2c35dc61c7437d30636fba92a36c27)
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(0,H)=H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24363363ae4a4eec0868164f4329e50e1b2a3ed7)
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /(n),H)=\operatorname {Tors} _{n}(H)=\{h\in H\colon nh=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ffee8a7c16887bc6114a343ea8dc604125039d)
이다. 보다 일반적으로, Tor 함자는 직합을 보존하므로,
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }\left(\bigoplus _{i}\mathbb {Z} /(n_{i}),H\right)=\bigoplus _{i}\operatorname {Tors} _{n_{i}}(H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00092e6320fb76ed780ff465dd37dc71ef27a492)
가 된다. 또한,
![{\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ,H)=\operatorname {Tors} (H)=\{h\in H\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon nh=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebaa0c1827f38d52e3265546f526011309edbd3a)
이므로
의 꼬임 부분군이 된다.
![{\displaystyle G\backslash H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9c49ab25652c5dc280b8426e53b926e01f9c6e) |
![{\displaystyle \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc) |
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0639d2973f71226a502767b14c0b7f9f5876c6c2) |
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![{\displaystyle \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc) |
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0639d2973f71226a502767b14c0b7f9f5876c6c2) |
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![{\displaystyle \mathbb {Z} /(m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06f06c6c02650be85a03cdb15c639c3d6f4178d) |
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7880e0f1e99049f66db9655eea9ec228b5e671d6) |
0
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![{\displaystyle \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a) |
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![{\displaystyle G\backslash H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a9c49ab25652c5dc280b8426e53b926e01f9c6e) |
![{\displaystyle \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc) |
![{\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0639d2973f71226a502767b14c0b7f9f5876c6c2) |
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![{\displaystyle \mathbb {Z} /(\gcd\{m,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7880e0f1e99049f66db9655eea9ec228b5e671d6) |
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리 대수 호몰로지[편집]
리 대수 호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Tor 함자와 같다.
‘Tor’는 영어: torsion 토전[*](꼬임 부분군)의 약자다. 이는 Tor 함자가 아벨 군의 꼬임 부분군과 관련있기 때문이다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]