집합론에서 쾨니그의 정리(Kőnig의定理, 영어: Kőnig’s theorem)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다.
집합 및 기수의 집합 , 가 주어졌고, 또한 모든 에 대하여
라고 하자. 쾨니그의 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
따름정리[편집]
쾨니그의 정리는 다음과 같은 따름정리들을 갖는다.
칸토어의 정리[편집]
이며 라고 하자. 그렇다면
이다. 이는 칸토어의 정리다.
선택 공리[편집]
이고, 가 임의의 0이 아닌 기수라고 하자. 그렇다면
이다. 이는 선택 공리의 한 형태이다.
공종도의 지수[편집]
가 어떤 무한 기수 의 (최소) 공종 집합이라고 하자. 즉, 이는 순서수들의 집합이다. 또한, 로 놓고, 라고 하자. 그렇다면
이다. 즉, 무한 기수 에 대하여
이다. 여기서 를 기멜 함수라고 한다.
공종도의 하한[편집]
어떤 무한 기수 와 기수 에 대하여, 항상
이다.
증명은 다음과 같다. 이미 증명된 따름정리에 따라
이므로, 기수 거듭제곱의 단조성에 따라서
이다.
집합족 와 가 주어졌고, 임의의 에 대하여 전사 함수
가 존재하지 않는다고 하자. 임의의 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 가 전사 함수가 아님을 보이면 족하다.
사영 함수
를 정의하여,
를 생각하자. 가정에 따라, 이 함수는 전사 함수가 아니므로,
를 고르자. 그렇다면
이므로, 는 전사 함수가 아니다.
헝가리의 수학자 쾨니그 줄러가 1904년에 증명하였다.[1][2]