종순 바나흐 대수

함수해석학에서 종순 바나흐 대수(從順Banach代數, 영어: amenable Banach algebra)는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명군인 바나흐 대수이다. 종순 폰 노이만 대수들은 완전히 분류되었으며, 상당량의 종순 C* 대수의 분류 역시 완결되었다.^[1]^[2]

정의[편집]

두 복소수 바나흐 대수 $A$ , $B$ 위의 바나흐 쌍가군 $_{A}M_{B}$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

\sup _{a\in A\setminus \{0\},\;m\in M\setminus \{0\}}\|am\|/(\|a\|\|m\|)<\infty

\sup _{b\in B\setminus \{0\},\;m\in M\setminus \{0\}}\|mb\|/(\|m\|\|b\|)<\infty

이 경우, 연속 쌍대 공간 $M^{*}$ 은 자연스럽게 $(B,A)$ -바나흐 쌍가군을 이룬다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

$M$ 값의 유계 미분(영어: bounded derivation)은 다음 두 조건을 만족시키는 복소수 선형 변환

\partial \colon A\to M

이다.

$\partial$ 은 미분이다. 즉, 임의의 $a,b\in A$ 에 대하여 $\partial (ab)=(\partial a)b+a\partial b$ 이다.
유계 작용소이다.

복소수 바나흐 대수 $A$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 종순 바나흐 대수라고 한다.

임의의 $(A,A)$ -바나흐 쌍가군 $_{A}M_{A}$ 및 유계 미분 $\partial \colon A\to M^{*}$ 에 대하여, $\partial =[-,\phi ]$ 가 되는 $\phi \in M^{*}$ 가 존재한다. (여기서 $M^{*}$ 는 $M$ 의 연속 쌍대 공간이다.)

여기서, 유계 미분들의 군은 1차 유계 호흐실트 순환들의 군으로, $[-,\phi ]$ 꼴의 유계 미분들의 군은 1차 완전 호흐실트 순환들의 군으로 생각할 수 있다. 즉, 종순 바나흐 대수의 정의는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건이다.

만약 위 조건을 $M=A$ 인 경우에만 성립하게 약화시키면, 약종순 바나흐 대수(弱從順, 영어: weakly amenable Banach algebra)의 개념을 얻는다.

폰 노이만 대수 $A$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

종순 바나흐 대수이다.
(초유한성 영어: hyperfiniteness) 부분 폰 노이만 대수들의 증가하는 열 $A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots \subseteq A$ 가 존재하여, 각 $A_{i}$ 들은 모두 유한 차원 폰 노이만 대수이며, $\textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i}$ 는 $A$ 의 (노름 거리 위상에서의) 조밀 집합을 이룬다.

종순 폰 노이만 대수는 단사 폰 노이만 대수(영어: injective von Neumann algebra) 또는 초유한 폰 노이만 대수(영어: hyperfinite von Neumann algebra)라고도 불린다.

C* 대수 $A$ 의 경우 다음 두 조건이 서로 동치이다.

종순 C* 대수는 핵 C* 대수(영어: nuclear C*-algebra)라고도 불린다.

모든 C* 대수는 약종순 바나흐 대수이다.^[3]^{:306; §4}

모든 가환 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.^[1]^{:79, Theorem 2.3.7} 모든 유한 차원 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.^[1]^{:77, Corollary 2.3.2}

종순 바나흐 대수의 개념은 1972년에 도입되었다.^[4] 이후 알랭 콘이 폰 노이만 대수의 경우 종순성이 초유한성 등 여러 다양한 조건들과 동치임을 증명하였다.^[5]

↑ ^가 ^나 ^다 Lin, Huaxing (2001년 11월). 《An introduction to the classification of amenable C*-algebras》 (영어). World Scientific. doi:10.1142/4751. ISBN 978-981-02-4680-8.
↑ Rørdam, M. (2002). 〈Classification of nuclear, simple C*-algebras〉. 《Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras》. Encyclopaedia of Mathematical Sciences (영어). Springer-Verlag. 1–145쪽. doi:10.1007/978-3-662-04825-2_1. ISBN 978-3-642-07605-3. ISSN 0938-0396.
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Bryder, Rasmus Sylvester (2013년 2월 15일). 《Injective and semidiscrete von Neumann algebras》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문 (지도 교수 Magdalena Musat). 코펜하겐 대학교. 2017년 3월 13일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 3월 13일에 확인함.
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“Cohomology of Banach algebras”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
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Moslehian, Mohammad Sal. “Weakly amenable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Nuclear C*-algebra”. 《nLab》 (영어).
“Uniformly hyperfinite algebra”. 《nLab》 (영어).