수학 에서 오일러-매클로린 공식 (Euler–Maclaurin formula)은 어떤 적분 값과 이와 밀접하게 관련된 합 사이의 차이에 대한 공식이다. 이 공식은 유한 합으로 적분을 근사화하거나 반대로 적분과 미적분학 방법을 사용하여 유한 합이나 무한 급수 를 평가하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 이 공식으로부터 다수의 점근적 확장식이 파생되고, 거듭제곱의 합에 대한 파울하버(Faulhaber)의 공식은 이로부터 곧바로 유도된다.
이 공식은 1735년경 레온하르트 오일러 와 콜린 매클로린 에 의해 독립적으로 발견되었다. 오일러는 천천히 수렴하는 무한급수를 계산하는 데 이 식이 필요했고 매클로린은 적분을 계산하는 데 이 식을 사용했다. 나중에 다르부(Darboux)의 공식 으로 일반화되었다.
만일 m 과 n 이 자연수 이고 f (x ) 가 구간 [m ,n ] 에서 실수 x 에 대한 실수 또는 복소수 값 연속 함수 인 경우에 적분식
I
=
∫
m
n
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}
는 아래의 합계로 근사할 수 있고, 그 역도 가능하다.
S
=
f
(
m
+
1
)
+
⋯
+
f
(
n
−
1
)
+
f
(
n
)
{\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}
(
사각형 방법 참조).
오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점, 즉
x = m 및
x = n 에서 평가된 더 높은
도함수 f (k ) (x ) 값을 이용하여 합과 적분 값의 차이에 대한 식을 제공한다.
구체적으로, 양의 정수 p 와 [m ,n ] 구간에서 p 번 연속적으로 미분 할 수 있는 함수 f (x ) 에 대해 우리는 다음 식,
S
−
I
=
∑
k
=
1
p
B
k
k
!
(
f
(
k
−
1
)
(
n
)
−
f
(
k
−
1
)
(
m
)
)
+
R
p
,
{\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},}
을 갖는데, 여기서
Bk 는
k 번째
베르누이 수 (with
B 1 = 1 / 2 이고,
Rp 는
차이값 으로
n ,
m ,
p , 및
f 에 의돈하고 적당한
p 에 대하여 작은 값이다.
이 공식은 종종 짝수의 하첨자만을 취하면서 기술하는데, 이는 B 1 을 제외하고 홀수 베르누이 수가 0이기 때문이다. 이 경우에 식은,[1] [2]
∑
i
=
m
n
f
(
i
)
=
∫
m
n
f
(
x
)
d
x
+
f
(
n
)
+
f
(
m
)
2
+
∑
k
=
1
⌊
p
2
⌋
B
2
k
(
2
k
)
!
(
f
(
2
k
−
1
)
(
n
)
−
f
(
2
k
−
1
)
(
m
)
)
+
R
p
,
{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},}
가 되고, 달리 표현하면,
∑
i
=
m
+
1
n
f
(
i
)
=
∫
m
n
f
(
x
)
d
x
+
f
(
n
)
−
f
(
m
)
2
+
∑
k
=
1
⌊
p
2
⌋
B
2
k
(
2
k
)
!
(
f
(
2
k
−
1
)
(
n
)
−
f
(
2
k
−
1
)
(
m
)
)
+
R
p
{\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}}
가 된다.
나머지 항 [ 편집 ]
일반적으로 적분값이 합산값과 정확하게 같지 않기 때문에 나머지 항이 발생한다. 이 공식은 r = m , m + 1, …, n − 1 대해 연속적인 구간 [r , r + 1] 에 대하여 부분적분 을 반복적으로 적용하여 유도할 수 있다. 이러한 적분의 경계 항은 공식의 주요 항으로 유도되고 잔류 적분은 나머지 항을 형성한다.
나머지 항은 주기화된 베르누이 함수 Pk (x ) 로 정확하게 표현된다. 베르누이 다항식은 B 0 (x ) = 1 에 의해 재귀적으로 정의될 수 있고, k ≥ 1 인 경우 아래와 같이 된다.
B
k
′
(
x
)
=
k
B
k
−
1
(
x
)
,
∫
0
1
B
k
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}
주기화된 베르누이 함수는 다음 식,
P
k
(
x
)
=
B
k
(
x
−
⌊
x
⌋
)
{\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )}}
으로 정의되는데, 여기서
⌊x ⌋ 는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타내므로
x − ⌊x ⌋ 는 항상 구간
[0,1) 에 있다.
이 표기법에서 나머지 항 Rp 는 다음과 같다.
R
p
=
(
−
1
)
p
+
1
∫
m
n
f
(
p
)
(
x
)
P
p
(
x
)
p
!
d
x
.
{\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}
이 식은
k > 0 일 때 다음 식,
|
B
k
(
x
)
|
≤
2
⋅
k
!
(
2
π
)
k
ζ
(
k
)
,
{\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}
으로 표기될 수 있는데, 여기서
ζ 는
리만 제타 함수 를 나타낸다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식
Bk (x ) 에 대한
푸리에 급수 를 얻는 것이다. 한계값은
x 가 0일 때 짝수
k 에 대하여 달성된다.
ζ (k ) 항은 홀수
k 에 대해 생략될 수 있지만 이 경우 증명은 더 복잡하다(레머 참조).
[3] 이 부등식을 사용하여 나머지 항의 크기는 다음과 같이 추정할 수 있다.
|
R
p
|
≤
2
ζ
(
p
)
(
2
π
)
p
∫
m
n
|
f
(
p
)
(
x
)
|
d
x
.
{\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}
저 차수 사례 [ 편집 ]
B 1 부터 B 7 까지의 베르누이 수는, 1 / 2 , 1 / 6 , 0, −1 / 30 , 0, 1 / 42 , 0 이다. 따라서, 오일러-매클로린 공식의 저 차수 값은 아래와 같이 된다.
∑
i
=
m
n
f
(
i
)
−
∫
m
n
f
(
x
)
d
x
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
2
+
∫
m
n
f
′
(
x
)
P
1
(
x
)
d
x
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
2
+
1
6
f
′
(
n
)
−
f
′
(
m
)
2
!
−
∫
m
n
f
″
(
x
)
P
2
(
x
)
2
!
d
x
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
2
+
1
6
f
′
(
n
)
−
f
′
(
m
)
2
!
+
∫
m
n
f
‴
(
x
)
P
3
(
x
)
3
!
d
x
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
2
+
1
6
f
′
(
n
)
−
f
′
(
m
)
2
!
−
1
30
f
‴
(
n
)
−
f
‴
(
m
)
4
!
−
∫
m
n
f
(
4
)
(
x
)
P
4
(
x
)
4
!
d
x
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
2
+
1
6
f
′
(
n
)
−
f
′
(
m
)
2
!
−
1
30
f
‴
(
n
)
−
f
‴
(
m
)
4
!
+
∫
m
n
f
(
5
)
(
x
)
P
5
(
x
)
5
!
d
x
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
2
+
1
6
f
′
(
n
)
−
f
′
(
m
)
2
!
−
1
30
f
‴
(
n
)
−
f
‴
(
m
)
4
!
+
1
42
f
(
5
)
(
n
)
−
f
(
5
)
(
m
)
6
!
−
∫
m
n
f
(
6
)
(
x
)
P
6
(
x
)
6
!
d
x
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
2
+
1
6
f
′
(
n
)
−
f
′
(
m
)
2
!
−
1
30
f
‴
(
n
)
−
f
‴
(
m
)
4
!
+
1
42
f
(
5
)
(
n
)
−
f
(
5
)
(
m
)
6
!
+
∫
m
n
f
(
7
)
(
x
)
P
7
(
x
)
7
!
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}
바젤 문제 [ 편집 ]
Basel 문제 는 아래 합을 결정하는 것이다.
1
+
1
4
+
1
9
+
1
16
+
1
25
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
1
n
2
.
{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}
오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 겨우 몇개의 항을 계산하여 소수점 이하 20자리까지 계산하였다. 아마도 오일러는 이로써 이 값이
π 2 / 6 과 같을 것으로 확신하였고, 같은 해에 이를 증명하였다.
[4]
다항식을 포함하는 합계 [ 편집 ]
만일 f 가 다항식 이고 p 가 충분히 크면 나머지 항이 사라진다. 예를 들어 f (x ) = x 3 이면 p = 2 를 선택하여 단순화 후 다음을 얻을 수 있다.
∑
i
=
0
n
i
3
=
(
n
(
n
+
1
)
2
)
2
.
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}
적분의 근사 [ 편집 ]
이식에 의하면 정적분을 근사하는 수단이 제공된다. 이제 a < b 를 적분 구간의 끝점이라고 한다. 근사에서 사용하는 점의 숫자인 N 으로 고정하고, 이에 따른 스텝의 크기를 h = b − a / N − 1h = b − a / N − 1 으로 표기한다. xi = a + (i − 1)h 으로 고정하면, x 1 = a 및 xN = b 이 된다. 그렇다면 아래식으로 된다.[5]
I
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
∼
h
(
f
(
x
1
)
2
+
f
(
x
2
)
+
⋯
+
f
(
x
N
−
1
)
+
f
(
x
N
)
2
)
+
h
2
12
[
f
′
(
x
1
)
−
f
′
(
x
N
)
]
−
h
4
720
[
f
‴
(
x
1
)
−
f
‴
(
x
N
)
]
+
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}
이것은 수정 항을 포함하여
사다리꼴 공식 을 확장하는 것으로 볼 수 있다. 이 점근적 확장은 일반적으로 수렴하지 않는다. 즉
f 와
h 에 따라 일부
p 가 있으므로 과거 순서
p 가 빠르게 증가한다. 따라서 나머지 항은 일반적으로 세심한 주의가 필요하다.
[5]
오일러-매클로린 공식은 수치 직교 에서 상세한 오차 분석에도 사용된다. 이 식은 완만한 주기 함수 에 대한 사다리꼴 규칙 의 우수한 성능을 설명하고 특정한 외삽 방법에 사용된다. Clenshaw-Curtis 구적법 은 (특정한 경우 오일러-매클로린 공식은 이산 코사인 변환 의 형태를 취한다는 점에서) 본질적으로 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확하게 되는 주기 함수의 적분 항으로 임의의 적분을 캐스팅하기 위하여 변수를 변경한 것이다. 이 기법은 주기화 변환으로 알려져 있다.
합의 점근적 확장 [ 편집 ]
합과 급수 의 점근 전개를 계산하는 경우에 일반적으로 오일러-맥클로린 공식의 가장 유용한 형식은 다음과 같다.
∑
n
=
a
b
f
(
n
)
∼
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
f
(
b
)
+
f
(
a
)
2
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
(
f
(
2
k
−
1
)
(
b
)
−
f
(
2
k
−
1
)
(
a
)
)
,
{\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}
여기서
a 와
b 는 정수이다.
[6] 이 확장은 극한
a → −∞ 또는
b → +∞ 또는 둘 모두를 취한 후에도 종종 유효하다. 많은 경우에 우변의 적분은, 비록 좌변의 합은 할 수 없지만,
기본 함수 의 항의 닫힌 형식 으로 평가할 수 있다. 그러면 점근적 급수의 모든 항은 기본 함수로 표현될 수 있다.
예를 들어,
∑
k
=
0
∞
1
(
z
+
k
)
2
∼
∫
0
∞
1
(
z
+
k
)
2
d
k
⏟
=
1
z
+
1
2
z
2
+
∑
t
=
1
∞
B
2
t
z
2
t
+
1
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}}
와 같이 될 수 있다.
여기서 좌변은 ψ (1) (z ) , 즉 다음과 같이 정의된 1차 폴리감마 함수 ,
ψ
(
1
)
(
z
)
=
d
2
d
z
2
log
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)}
와 같다.
감마 함수 Γ(z ) 는 (z − 1)! z 가 양의 정수일 때. 그 결과 ψ (1) (z ) 에 대한 점근적 확장이 발생한다. 반대로 이 확장은 스털링의 계승 함수 근사에 대한 정확한 오차 추정치의 도출 중 하나를 위한 시작점 역할을 한다.
만일 s 가 1보다 큰 정수이면 아래 식이 된다.
∑
k
=
1
n
1
k
s
≈
1
s
−
1
+
1
2
−
1
(
s
−
1
)
n
s
−
1
+
1
2
n
s
+
∑
i
=
1
B
2
i
(
2
i
)
!
[
(
s
+
2
i
−
2
)
!
(
s
−
1
)
!
−
(
s
+
2
i
−
2
)
!
(
s
−
1
)
!
n
s
+
2
i
−
1
]
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}
상수를
리만 제타 함수 의 값으로 수집하면 아래의 점근 전개를 작성할 수 있다.
∑
k
=
1
n
1
k
s
∼
ζ
(
s
)
−
1
(
s
−
1
)
n
s
−
1
+
1
2
n
s
−
∑
i
=
1
B
2
i
(
2
i
)
!
(
s
+
2
i
−
2
)
!
(
s
−
1
)
!
n
s
+
2
i
−
1
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}
여기서
s 가 2인 경우 이는 다음과 같이 단순화된다.
∑
k
=
1
n
1
k
2
∼
ζ
(
2
)
−
1
n
+
1
2
n
2
−
∑
i
=
1
B
2
i
n
2
i
+
1
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}
즉,
∑
k
=
1
n
1
k
2
∼
π
2
6
−
1
n
+
1
2
n
2
−
1
6
n
3
+
1
30
n
5
−
1
42
n
7
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}
여기서
s = 1 일 때 해당 기술은
고조파 수 에 대해 점근적 확장을 제공한다.
∑
k
=
1
n
1
k
∼
γ
+
log
n
+
1
2
n
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
2
k
n
2
k
,
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}
여기서
γ ≈ 0.5772... 는
오일러-마스케로니 상수 이다.
수학적 귀납법에 의한 유도 [ 편집 ]
우리는 Apostol에서 주어진 주장을 요약한다.[1]
위에서 n = 0, 1, 2, ... 에 대한 베르누이 다항식 Bn (x ) 및 주기적 베르누이 함수 Pn (x ) 가 소개되었다.
처음 몇 개의 Bernoulli 다항식은 다음과 같다.
B
0
(
x
)
=
1
,
B
1
(
x
)
=
x
−
1
2
,
B
2
(
x
)
=
x
2
−
x
+
1
6
,
B
3
(
x
)
=
x
3
−
3
2
x
2
+
1
2
x
,
B
4
(
x
)
=
x
4
−
2
x
3
+
x
2
−
1
30
,
⋮
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}
Bn (1) 값은
베르누이 수 B n 이다. 특히
n ≠ 1 경우
B
n
=
B
n
(
1
)
=
B
n
(
0
)
,
{\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}
되고, 그리고
n = 1 인 경우,
B
1
=
B
1
(
1
)
=
−
B
1
(
0
)
.
{\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}
이 됨을 유의하라.
함수 P n 은 간격 [0, 1] 에서 베르누리 다항식과 일치하고 주기 1로 주기적 이다. 또한 n = 1 인 경우를 제외하고는 연속적이다. 따라서,
P
n
(
0
)
=
P
n
(
1
)
=
B
n
for
n
≠
1.
{\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}
k 를 정수로 두고 아래 적분,
∫
k
k
+
1
f
(
x
)
d
x
=
∫
k
k
+
1
u
d
v
,
{\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}
여기서
u
=
f
(
x
)
,
d
u
=
f
′
(
x
)
d
x
,
d
v
=
P
0
(
x
)
d
x
since
P
0
(
x
)
=
1
,
v
=
P
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}
인 적분을 고려하자.
이 식은 부분 적분 에 의하면 아래 식이 된다.
∫
k
k
+
1
f
(
x
)
d
x
=
[
u
v
]
k
k
+
1
−
∫
k
k
+
1
v
d
u
=
[
f
(
x
)
P
1
(
x
)
]
k
k
+
1
−
∫
k
k
+
1
f
′
(
x
)
P
1
(
x
)
d
x
=
B
1
(
1
)
f
(
k
+
1
)
−
B
1
(
0
)
f
(
k
)
−
∫
k
k
+
1
f
′
(
x
)
P
1
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}
B 1 (0) = −1 / 2 B 1 (0) = −1 / 2 ,
B 1 (1) = 1 / 2 B 1 (1) = 1 / 2 , 를 이용하고, 위 식을
k = 0 부터
k = n − 1까지 더하면, 위식은 아래와 같이 된다.
∫
0
n
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
+
⋯
+
∫
n
−
1
n
f
(
x
)
d
x
=
f
(
0
)
2
+
f
(
1
)
+
⋯
+
f
(
n
−
1
)
+
f
(
n
)
2
−
∫
0
n
f
′
(
x
)
P
1
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}
양변에
f (n ) − f (0)/ 2 을 더하고 항을 정리하면, 위 식은 아래와 같이 된다.
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
=
∫
0
n
f
(
x
)
d
x
+
f
(
n
)
−
f
(
0
)
2
+
∫
0
n
f
′
(
x
)
P
1
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}
이것은 합산 공식에서
p = 1 경우이다. 유도를 계속하기 위해 오차 항에 부분적분을 아래와 같이 적용한다.
∫
k
k
+
1
f
′
(
x
)
P
1
(
x
)
d
x
=
∫
k
k
+
1
u
d
v
,
{\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}
여기서,
u
=
f
′
(
x
)
,
d
u
=
f
″
(
x
)
d
x
,
d
v
=
P
1
(
x
)
d
x
,
v
=
1
2
P
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}
이다.
부분적분의 결과는
[
u
v
]
k
k
+
1
−
∫
k
k
+
1
v
d
u
=
[
f
′
(
x
)
P
2
(
x
)
2
]
k
k
+
1
−
1
2
∫
k
k
+
1
f
″
(
x
)
P
2
(
x
)
d
x
=
B
2
2
(
f
′
(
k
+
1
)
−
f
′
(
k
)
)
−
1
2
∫
k
k
+
1
f
″
(
x
)
P
2
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}
이다.
k = 0 에서
k = n − 1 까지 합산하고 이를 하위 오차 항으로 대체하면 공식에서
p = 2 경우가 된다.
∑
k
=
1
n
f
(
k
)
=
∫
0
n
f
(
x
)
d
x
+
f
(
n
)
+
f
(
0
)
2
+
B
2
2
(
f
′
(
n
)
−
f
′
(
0
)
)
−
1
2
∫
0
n
f
″
(
x
)
P
2
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}
이러한 절차는 반복적으로 수행될 수 있다. 이러한 방식으로
수학적 귀납법 에 의해 공식화 될 수 있는 오일러-맥클로린 합산 공식의 증명을 얻는다. 여기서 귀납법의 각 단계는 부분적분과 주기적인 베르누이 함수에 대한 항등식에 의존한다.
같이 보기 [ 편집 ]
Cesàro 합계
오일러 합계
가우스-크론로드 직교 공식
Darboux의 공식
오일러–부울 합계
↑ 가 나 Apostol, T. M. (1999년 5월 1일). “An Elementary View of Euler's Summation Formula”. 《The American Mathematical Monthly 》 (Mathematical Association of America) 106 (5): 409–418. doi :10.2307/2589145 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2589145 .
↑ “Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences” . National Institute of Standards and Technology .
↑ Lehmer, D. H. (1940). “On the maxima and minima of Bernoulli polynomials”. 《The American Mathematical Monthly 》 47 (8): 533–538. doi :10.2307/2303833 . JSTOR 2303833 .
↑ Pengelley, David J. (2007). 〈Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula〉. 《Euler at 300》. MAA Spectrum. Washington, DC: Mathematical Association of America. 169–189쪽. arXiv :1912.03527 . MR 2349549 .
↑ 가 나 Devries, Paul L.; Hasbrun, Javier E. (2011). 《A first course in computational physics.》 2판. Jones and Bartlett Publishers. 156쪽.
↑ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , 편집. (1972). 《Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 》. New York: Dover Publications . 16, 806, 886쪽. ISBN 978-0-486-61272-0 .
추가 자료 [ 편집 ]
외부 링크 [ 편집 ]