수학 및 물리학에서 사인-고든 방정식(영어: sine–Gordon equation)은 솔리톤 해를 가지는 비선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 적분가능계를 대표하는 예이다.
이 방정식은 단진자 운동
을 2차원 시공간으로 확장한 것으로도 볼 수 있다.
역사와 어원[편집]
1862년에 에드몽 부르(프랑스어: Edmond Bour)가 최초로 연구하였다.[1] 1939년에 야코프 프렌켈(러시아어: Яков Ильич Френкель)과 콘토로바(러시아어: Т. М. Конторова)가 재발견하였다.[2]
"사인-고든"이라는 이름은 클라인-고든 방정식에 빗댄 말장난인데, 이는 사인고든 방정식이 클라인-고든 방정식 중 질량항을 사인 함수 모양 퍼텐셜로 바꾼 꼴이므로, "클라인"을 각운(脚韻)이 같은 "사인"으로 대체한 것이다.
2차원 시공간
에서, 사인-고든 방정식은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+\sin \phi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5aae2f1c526a46bd19d931099b047931c6ba13)
(※
를 뜻한다.)
이는 다음과 같은 라그랑지언 밀도로부터 유도할 수 있다.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]-1+\cos \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702285160eb65e7ccb62d192a17df09219aa3ec7)
즉, 퍼텐셜이
![{\displaystyle V(\phi )=1-\cos \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad72c6e02b4d8ec2c78f705eb8dff8a8aa5851b7)
인 스칼라 장론이다.
이 사인고든방정식을 만족하는 답이면 아래 공식을 통해 또다른 답
을 구할 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2}}{\partial t}}={\frac {\partial \phi _{1}}{\partial x}}+\left(a-{\frac {1}{a}}\right)\cos {\frac {\phi _{1}}{2}}\sin {\frac {\phi _{2}}{2}}+\left(a+{\frac {1}{a}}\right)\sin {\frac {\phi _{1}}{2}}\cos {\frac {\phi _{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa0fcd46a560317a862905a8f29761639f48052)
![{\displaystyle {\frac {\partial \phi _{2}}{\partial x}}={\frac {\partial \phi _{1}}{\partial t}}+\left(a+{\frac {1}{a}}\right)\cos {\frac {\phi _{1}}{2}}\sin {\frac {\phi _{2}}{2}}+\left(a-{\frac {1}{a}}\right)\sin {\frac {\phi _{1}}{2}}\cos {\frac {\phi _{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e1c67fd602cbe00620fe2ead0c89410b53fb4f)
(※ a는 상수)
위 공식은 아래 식들을 통해 만들어진다.
![{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)(\phi _{2}-\phi _{1})=2a\sin {\frac {\phi _{2}+\phi _{1}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69205ee9e8a6d7e0e0c4a1ce652448852e757f34)
![{\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\right)(\phi _{2}+\phi _{1})={\frac {2}{a}}\sin {\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aefce61ed46729a2b7116b37ee1395a67b09c59)
솔리톤 해[편집]
사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다.
![{\displaystyle \phi (t,x)=4\arctan \exp \left({\frac {x-x_{0}-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab9ec0946302c8ddbf0f874f74bbce8c48cb9aa)
이는 속도
로 움직이고, 초기 위치가
인 솔리톤을 나타낸다.
1-솔리톤 풀이[편집]
일때는
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{dx^{2}}}=\sin \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f74b97a8238cc13250354dc4f04a2aef9b2eaf2)
이니, 양변에다
를 곱한 뒤 적분하면
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{dx}}\right)^{2}=2m-(1+\cos \varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a3ecf1f80c19abf85f036029aacae5d4f5b714)
![{\displaystyle =2\left(m-\cos ^{2}{\frac {\phi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914152e715d554b2d2a4fb6f64419972f1eb129f)
(※ m은 상수)
이 되어, 이걸 2로 나눠주면 사인고든 방정식이
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}{\frac {\phi }{2}}\right)^{2}=m-\cos ^{2}{\frac {\phi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c1b29207d58886adeb0eea1641aa52bbf246b9)
으로 바뀐다.
그다음
로 잡으면
이니, 양변에
를 곱하고 정리해보면 야코비 타원함수 sn에 대한 방정식
![{\displaystyle \left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-mf^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999a0f91ed1fe057cde79d86ca173161a3350e22)
이 나와
![{\displaystyle f(x)=\operatorname {sn} (x,m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b515b5c8c242e87aeb1cc64802295f2ca2cf83bd)
임을 알수있고 이걸 아까 바꾸는 식에다 넣고 정리하면
![{\displaystyle \phi (x)=\pi +2\arcsin {\sqrt {m}}\operatorname {sn} (x,m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a586c64d0c31eea552d91eca39a6c1031c69f2)
이 된다.
이 식에서 m=1로 놓고 정리한 뒤 로런츠 변환을 시키면 위에서 말한 식이 나온다.
2-솔리톤 풀이[편집]
양자화[편집]
사인-고든 모형은 양자화할 수 있다.[3] 양자화하면 플랑크 상수에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 산란 행렬은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 티링 모형과 S-이중성을 통해 동형이다.[4]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]