sn(u)의 그래프. 붉은 선은
, 녹색 선은
이다.
cn(u)의 그래프. 붉은 선은
, 녹색 선은
이다.
dn(u)의 그래프. 붉은 선은
, 녹색 선은
이다.
수학에서 야코비 타원함수(Jacobi楕圓函數, 영어: Jacobi elliptic function)는 세 개의 특수 함수 sn, cn, dn이다. 이들은 삼각함수와 유사한 항등식들을 만족시킨다.
야코비 타원함수 sn, cn, dn은 두 개의 변수
에 대한 함수이다. 여기서
이다.
다음과 같은 타원 적분을 생각하자.
![{\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c622d36db2425b48c468cc25b7a9a1739fb06222)
그렇다면 sn, cn, dn은 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle \operatorname {sn} (u;m)=\sin \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041e94cbb75be3314888e87320e9dead2b1c2dd0)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (u;m)=\cos \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3b350751dbefcbba4fa93fbb46903107abd550d)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (u;m)={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf26f6f8134fbad7ea2e8bc232c83e7599e8def)
저자에 따라, 간혹 매개변수 m 대신
또는
을 사용하는 경우도 있다. 이 경우
,
이다.
타원과의 관계[편집]
긴 반지름이
이며 짧은 반지름이 1인 타원을 생각하자. 이 타원은 데카르트 좌표계에서 다음과 같은 방정식에 의하여 정의된다.
![{\displaystyle x^{2}/a^{2}+y^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7921cec95c609b77ca6c96d387d799f188d4f89c)
이들을 극좌표계
로 변환하면, 다음과 같은 함수들을 얻는다.
![{\displaystyle x=x(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8929d7cc58df011ac6da81ff912f5394dd0d65c)
![{\displaystyle y=y(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917aa859a678801e5c7fbd75860770a94e0730fc)
![{\displaystyle r=r(\theta )={\sqrt {x(\theta )^{2}+y(\theta )^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61316073e22fb952e44f358ef65833f7672cd7a2)
또한, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle u=\int _{0}^{\theta }\,r(\phi )\,d\phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a09048fc583345661e7fede1bbc1d60b647f5fd)
그렇다면,
의 함수로서
,
,
은 다음과 같이 야코비 타원함수로 주어진다.
![{\displaystyle \operatorname {cn} (u)=x(\theta )/a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d441d6d00026e8035f4be7525e5af51948f45ff)
![{\displaystyle \operatorname {sn} (u)=y(\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51ca4395e38d7c61f63982ab440486363202739b)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (u)=r(\theta )/a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79889a00664a90c6d0de53495a3466e797b64dc)
이 경우,
은 타원의 이심률의 제곱이다.
![{\displaystyle m=k^{2}=1-1/a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ce99326c4b0c450da5fbde1b9644e1d3c82b46)
보조 야코비 타원함수[편집]
간혹 기본 야코비 타원함수 sn, cn, dn들의 비를 다음과 같이 정의하기도 한다.
|
sn(u) |
cn(u) |
dn(u)
|
1
|
ns(u)=1/sn(u) |
nc(u)=1/cn(u) |
nd(u)=1/dn(u)
|
sn(u)
|
1 |
sc(u)=sn(u)/cn(u) |
sd(u)=sn(u)/dn(u)
|
cn(u)
|
cs(u)=cn(u)/sn(u) |
1 |
cd(u)=cn(u)/dn(u)
|
dn(u)
|
ds(u)=dn(u)/sn(u) |
dc(u)=dn(u)/cn(u) |
1
|
주기성[편집]
야코비 타원함수는 타원 함수이다. 즉, 이들은 다음과 같은 주기성을 가진다.
가 sn, cn, 또는 dn이라고 하면,
![{\displaystyle f(u;m)=f(u+4K(m);m)=f(u+4iK'(m);m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c075cfaa98f57b782814878c30cf5772cc745f14)
여기서
과
은 각각 실사분주기(영어: real quarter period)와 허사분주기(영어: imaginary quarter period)라는 특수 함수이며, 다음과 같다.
![{\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14b279cd7ed9ce3082f50bcb8cc7882acbd6a85)
![{\displaystyle K'(m)=K(1-m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/984895bd41118a02fcd4ea29c996c191e767216e)
즉, 야코비 타원함수는 타원 곡선
위에 정의된 유리형 함수이다.
극점과 영점[편집]
sn, cn, dn 모두
![{\displaystyle u=iK'(m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d2911713d4c3c6107ac0472a18ae82a3b7c6a7)
에서 단순극을 가지며, 그 유수는 1이다.
sn, cn, dn은 타원곡선 위에서 각각 하나의 영점을 가지며, 영점에서의 도함수는 1이다. 영점의 위치는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {sn} (0;m)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a670a12c7a9de5bcefb1b51504f7210334c1ca7b)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (K(m);m)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41fe436bd30c97aee44879d9d408aa636291f8cc)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (K(m)+iK'(m);m)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4c4a70d7332746a6a449a4106cb68f02ddab7b)
삼각함수·쌍곡함수와의 관계[편집]
일 때, 야코비 타원함수는 삼각함수가 된다.
![{\displaystyle \operatorname {sn} (u;0)=\sin u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d74882a29470818514ea3e773090e0b9cf87bc0)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (u;0)=\cos u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d620a5b68a3e7136842893e1fc2a86b783e1f95)
![{\displaystyle \operatorname {dn} (u;0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afebbcaa23dcb42aed02b32ab550fab6e6ac3f7e)
반대로,
일 때, 야코비 타원함수는 쌍곡함수가 된다.
![{\displaystyle \operatorname {sn} (u;1)=\tanh u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd696d8cf7901576b59986a70f0a8a750b9d5536)
![{\displaystyle \operatorname {cn} (u;1)=\operatorname {dn} (u;1)={\frac {1}{\cosh u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/883c287f0b26f9ef0c92e5b085ce25fbd4b77650)
항등식[편집]
야코비 타원함수들은 삼각함수와 유사한, 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.
![{\displaystyle \operatorname {sn} ^{2}(u;m)+\operatorname {cn} ^{2}(u;m)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aec3c5131276b3d99b9232fcfe9c3d2fc26af46)
![{\displaystyle m\operatorname {sn} ^{2}(u;m)+\operatorname {dn} ^{2}(u;m)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38540ec1af671c587872a589b86fbfb548b2599)
합 공식[편집]
다음과 같은 합 공식이 존재한다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed3fd63ed91f9592e5a90eaac1da91eeab35d055)
야코비 타원함수의 미분은 다음과 같다. 여기서 매개변수 m은 생략한다.
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {sn} z=\operatorname {cn} z\operatorname {dn} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b585d1eb9bdf659b64df7af2371db5bc4b3150)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {cn} z=-\operatorname {sn} z\operatorname {dn} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26ca960ec908e7593590f5e4a996e0ec5b67b6ea)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\operatorname {dn} z=-m\operatorname {sn} z\operatorname {cn} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76599d97ccc5bd0e8c1155f794591761d2e5ae31)
카를 구스타프 야코프 야코비가 1829년 저서 《타원함수론의 새로운 기반》(라틴어: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum)에서 도입하였다.[1]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]