브룬 상수(Brun's constant)는 쌍둥이 소수의 역수의 합을 모두 합한 값이다.
1919년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 다음과 같은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했다. 이 결과를 브룬의 정리라 부른다.
두 개의 연속된 소수, 즉 쌍둥이 소수를 다루므로 보통
라고 표기한다.
이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다.
만약 이 수가 무한한 수였다면 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되었을 것이지만, 이 수는 앞에서 봤듯 한 수에 수렴한다.
그러므로 브룬 상수에 의해서 쌍둥이 소수의 무한성은 증명되지도 반증되지도 못한다.
이와 비슷하게 네 쌍 소수(4의 간격을 둔 두 쌍의 쌍둥이 소수)에 대한 브룬 상수
는 다음과 같이 정의된다.
이 값은 대략 0.875088380에 근접한다.
브룬 상수의 분리[편집]
브룬 상수
를 예약하면,
![{\displaystyle B_{2}=U+L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afe11d1c40ce810f36938ce416a47c13687b0b3)
![{\displaystyle U=\sum _{n=>1}{{1} \over {G(n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46cdadd6a54a45cab247a408b3e34feb1008b4d)
![{\displaystyle L=\sum _{n=>1}{{1} \over {g(n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0b24b595718f47ac87c68eaa4e30f213356d30)
![{\displaystyle G(n)=6k+1,(k=>1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb02a005613fc0e4a3b7622f2c207b37a524ca8a)
![{\displaystyle g(n)=6k-1,(k=>1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f7ade2331b7920d0167228f4d4f55c1043d379f)
[1]
[2]
![{\displaystyle B_{2}=U+L=1.9021605831\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf57e22fa6827e32e428df0affed94382ba36c8)
그리고,
브룬 상수
를 예약해서,
![{\displaystyle B={{(L-U)} \over {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/735c5a0f500846036c555b8c8891cfd884c71dbb)
![{\displaystyle ={{1} \over {3\cdot 5}}+{{1} \over {5\cdot 7}}+{{1} \over {11\cdot 13}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9ac8089aff04aa507fa755e4264794ad3c5ace)
![{\displaystyle =\sum _{n=>1}{{1} \over {P(n)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374f1fcd52b7c42f41ff458f3af72c93d91971e8)
[3]
[4]
세쌍둥이 브룬 상수[편집]
트리플릿(세쌍둥이, Triplets)브룬 상수는 위의 쌍둥이 브룬상수처럼 규칙적인 일련의 3개의 소수로 이루어지는 소수들의 합의 값이다.[5]
![{\displaystyle B_{3b}=\sum _{}^{}{\left(\left({{1} \over {p_{1}}}+{{1} \over {p_{1}+4}}+{{1} \over {p_{1}+6}}\right)+\left({{1} \over {p_{2}}}+{{1} \over {p_{2}+4}}+{{1} \over {p_{2}+6}}\right)+\left({{1} \over {p_{3}}}+{{1} \over {p_{3}+4}}+{{1} \over {p_{3}+6}}\right)+\cdots \right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7067011a34edf1a44db159494062b204c289f5e)
![{\displaystyle =\sum _{}^{}{\left(\left({{1} \over {7}}+{{1} \over {11}}+{{1} \over {13}}\right)+\left({{1} \over {13}}+{{1} \over {17}}+{{1} \over {19}}\right)+\left({{1} \over {37}}+{{1} \over {41}}+{{1} \over {43}}\right)+\cdots \right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcfae916b4d223a4c22910035a707e5339871385)
![{\displaystyle =0.837113212411\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca9cf82269f252c800dd39e2632daf353d2dc05)
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]
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