골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant) 또는 골롬 상수
수학에서 골롬-딕맨 상수(Golomb-Dickman constant)는 무작위 순열 (랜덤 순열)이론과 수 이론에서 각각 보여진다.이것은 정수들의 확장에서 소수들간의 출현길이와 무작위한 랜덤 순열을 가장 크게 확장했을 때의 분포가 일치하는 값을 보이고 있다는 사실을 보여주는 놀라운 상수들간의 관계이다.
딕맨(Dickman,1930)에 의해 가장 큰 정수들 집합
중에서 균일하게 선택된 임의의 정수의 소수(prime number) 요소
에서,
딕맨 함수로 알려진 이 상수는 가장 큰 소수의 자릿수로 예상되는 수에서 해석된다.
이러한 "가장 크다고 여겨질수있는 무작위 정수의 자릿수에 대한 비율문제" 이후로, 골롬(Golomb,1964)이 무작위 순열에서 가장 긴 주기의 길이
을 연구했을때,
에서
를 발견했다.
여기서 딕맨의 상수가 골롬이 발견한 상수와 동일함에도 이 두 상수의 상관관계가 곧 바로 강하게 연관되지는 못했다.[1]
그러나 이들의 관계가 확률상의 푸아송 분포와 정규 분포
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\alpha _{1}=0)={1 \over e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2eb61233c412179d682e681f21becdb67454e0)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(\alpha _{j}=k)={1 \over k!}e^{-1 \over j}j^{-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68cc9f54e7ee46dc3a26badc021adbff8cd12ed1)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left(\left(\sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}-\ln n\right)(\ln n)^{-1 \over 2}\leq x\right)=\Phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed572e749576986cab057cd79164d0757cf399b0)
로 약하게 연관되어 설명되고나서(Shepp and Lloyd 1966, Wilf 1990),
에서
- 딕맨 상수[2]
![{\displaystyle \mu =\lim _{n\to \infty }\left\langle x\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ca7efb157b0a0d3b4fc8314ef658daaf5f0bb7)
![{\displaystyle \;\ =\lim _{n\to \infty }\left\langle {{\ln P} \over {\ln n}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3721f014556c81c6941de8d4b5f1641053486a)
![{\displaystyle \;\;=\int _{0}^{1}x{{d\;F} \over {d\;x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ebe75d8048614a989f46d6b314b078930c0861)
![{\displaystyle \;\;=\int _{0}^{1}F\left({{1} \over {1-t}}\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c00a63d136c4806fb71ddc64fae78048ae4ca69)
는 골롬 상수
가
에서,
![{\displaystyle \lambda =\int _{1}^{\infty }{{f(x)} \over {x^{2}}}dx\;\;,f(x)=1\;\;(x>2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a821e5bf086386bf76bef55743c1a020ef5bde3c)
![{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }exp\left(-x-\left(\int _{x}^{\infty }{{e^{-y}} \over {y}}dy\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd281bc603511f8712c90f850931a19771e6fbc7)
![{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{1}exp\left(\int _{0}^{x}{{dy} \over {\ln y}}\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d008ca2251c977f559416c5ca41a8e8ad88e9b)
![{\displaystyle \lambda =0.62432998854355087099293638310083724\dots (OEISA084945)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa7da8a5ec693db1c7c948236933a77098b5aa6)
로 쉐프 와 로이드(Shepp and Lloyd , 1966)가 유도됨을 보였다.[3]
이것은 구간
에서,
이다.
확률 이론에서,
은 균일 분포에서 가장 긴주기의 예상 크기
세트의 랜덤순열이다.
수 이론에서 골롬-딕맨 상수는 정수의 가장 큰 소수 인자의 평균 크기와 관련되어 나타난다.
![{\displaystyle \lambda =\lim _{n\ \to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45bd1d3a6c79e70edecc1a5f2a67ef5b90fa6a8f)
![{\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{1 \over n}\sum _{k=2}^{n}{{\log(P_{1}(k))} \over {\log(k)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819eb652cc9c46e5a214bd3996a78852a344a42c)
여기서
는
의 가장 큰 소수 인자이다.
따라서
가
자릿수 인 경우,
는
의 최대 소수 자릿수의 평균 자릿수이다.
커누스의
와
에 대한 추측[편집]
커누스(Knuth 1981)의 임의의 상수
와
에 대한 추측
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\beta }\left(\left\langle M(x)\right\rangle -\gamma n-{1 \over 2}\gamma \right)=B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6d2c844ee755a8598640ae4b928de329413655)
이 있었고,
고든(Gourdon 1986)이 아래과 같이 증명하였다.
에서,
![{\displaystyle \left\langle M(\alpha )\right\rangle =\lambda \left(n+{1 \over 2}\right)-{{e^{\gamma }} \over {24n}}+{{1 \over 48}e^{\gamma }-{1 \over 8}(-1)^{n} \over {n^{2}}}+{{{17 \over 3840}e^{\gamma }+{1 \over 8}(-1)^{n}+{1 \over 6}j^{1+2n}+{{1 \over 6}j^{2+n}}} \over {n^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ea06f8c8110f7ef6918281662f847e992ed062)
![{\displaystyle E(M(\alpha ))=\lambda n+{\lambda \over 2}-{e^{\gamma } \over 24}{1 \over n}+\left({{e^{\gamma }} \over 48}-{{(-1)^{n}} \over 8}\right){1 \over n^{2}}+\left({{17e^{\gamma }} \over 3840}+{(-1)^{n} \over 8}+{{e^{2(2n+1)\pi i} \over 3} \over 6}+{{e^{2(n+2)\pi i} \over 3} \over 6}\right){1 \over n^{3}}+O\left({1 \over n^{4}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f193a1b2b36f7b80603cd59b930c951547c5ffbf)
![{\displaystyle M(\alpha )={\underset {j}{max}}\{j:\alpha _{j}>0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c65137e580d1f26a4f8ac2205ccea9c4d3338d2)
오일러-마스케로니 상수
관련 상수 및 함수[편집]
![{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }e^{-t-E_{1}(t)}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b6d5d750d303d436b387611c35baa069c1778a)
지수 적분 함수
![{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/face25feefc87f117f7e9eef01de4f3b929dc61c)
![{\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663837bca6a1bb1a5bc51f6c92647bd46bcca5c8)
딕맨 함수(Dickman–de Bruijn function)
![{\displaystyle \left\langle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha _{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}{1 \over i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49613b6f195c01197a4075e9f7373cbaa472665)
![{\displaystyle \quad =\ln n+\gamma +O\left({1 \over n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1870e469387dc2da660ea436ee6db64f38689fd5)
![{\displaystyle \quad =H_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a966e64641de7a26278c6fe908ff0d8938a37ac7)
는 조화수
점근 표기법
같이 보기[편집]