수학 에서, 실수 체 스칼라를 가진 선형 공간
V
{\displaystyle V}
("실수 선형 공간")의 복소화 는 복소수 체 에 대한 선형 공간
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
를 구성하며, 벡터의 실수 스칼라를 복소수 범위 까지 형식적으로 확장하여 얻은 것이다. 실 선형 공간
V
{\displaystyle V}
에 대한 모든 기저 는 또한 복소 선형 공간
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
에 대한 기저 역할을 할 수 있다.
V
{\displaystyle V}
가 실 선형 공간이라 하자.
V
{\displaystyle V}
의 복소화는
V
{\displaystyle V}
와 2차원 실 선형 공간으로서의 복소수 공간의 텐서 곱으로 정의된다.
V
C
:=
V
⊗
R
C
.
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.}
텐서 곱에서 아래 첨자
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
은 텐서 곱이 실수 위에서 이뤄짐을 나타낸다.(
V
{\displaystyle V}
는 실 선형 공간이므로 어쨌든 이것이 유일하게 합리적인 선택이므로 아래 첨자는 혼동의 여지 없이 생략할 수 있다.) 현재 상태 그대로,
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
는 실 선형 공간이다. 그러나, 복소수 곱셈을 다음과 같이 정의하여
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
를 복소 선형 공간으로 변환한다:
α
(
v
⊗
β
)
=
v
⊗
(
α
β
)
for all
v
∈
V
and
α
,
β
∈
C
.
{\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}
보다 일반적으로, 복소화는 스칼라 확대의 예이다. 여기서는 실수에서 복소수로 스칼라를 확장한다. 이는 모든 체 확대 또는 환의 모든 사상에 대해 수행될 수 있다.
범주론 적으로, 복소화는 실 선형 공간의 범주에서 복소 선형 공간의 범주로 가는 함자 VectR → VectC 이다. 이것은 복소 구조를 잊어 버린 망각 함자 VectC → VectR 에 대한 왼쪽 수반 함자 이다.
복소 선형 공간
V
{\displaystyle V}
의 복소 구조에 대한 이러한 망각은 실수화 라고 부른다.
기저
e
μ
{\displaystyle e_{\mu }}
를 가진 복소 선형 공간
V
{\displaystyle V}
의 실수화는 복소수 스칼라 곱을 없애버리고
{
e
μ
,
i
e
μ
}
{\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}}
를 기저로 하여 차원을 두배로 만든다.
기본적 성질들 [ 편집 ]
텐서 곱의 특성상
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
의 모든 벡터
v
{\displaystyle v}
는 다음과 같은 형식으로 유일하게 쓸 수 있다:
v
=
v
1
⊗
1
+
v
2
⊗
i
{\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}
여기서
v
1
{\displaystyle v_{1}}
와
v
2
{\displaystyle v_{2}}
는
V
{\displaystyle V}
의 벡터이다. 텐서 곱 기호를 버리고 그냥 쓰는 것이 일반적이다.
v
=
v
1
+
i
v
2
.
{\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}
복소수
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
에 의한 곱셈은 일반적인 규칙에 의해 주어진다.
(
a
+
i
b
)
(
v
1
+
i
v
2
)
=
(
a
v
1
−
b
v
2
)
+
i
(
b
v
1
+
a
v
2
)
.
{\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}
그런 다음
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
를 두
V
{\displaystyle V}
의 직합 으로 볼 수 있다:
V
C
≅
V
⊕
i
V
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV}
복소수에 의한 곱셈에 대한 위의 규칙을 사용한다.
다음과 같이 주어진
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
에
V
{\displaystyle V}
의 자연스러운 매장이 있다.
v
↦
v
⊗
1.
{\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}
그러면 선형 공간
V
{\displaystyle V}
를
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
의 실수 부분 공간으로 볼 수 있다.
V
{\displaystyle V}
(실수 체에 대해) 기저
{
e
i
}
{\displaystyle \{e_{i}\}}
를 갖는 경우
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
에 대한 해당 기저는 복소수 체에 대해
{
e
i
⊗
1
}
{\displaystyle \{e_{i}\otimes 1\}}
로 주어진다. 따라서
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
의 복소 차원은
V
{\displaystyle V}
의 실수 차원과 같다.
dim
C
V
C
=
dim
R
V
.
{\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}
또는 텐서 곱을 사용하는 대신 이 직합을 복소화의 정의로 사용할 수 있다.
V
C
:=
V
⊕
V
,
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}
여기서
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
는
J
(
v
,
w
)
:=
(
−
w
,
v
)
{\displaystyle J(v,w):=(-w,v)}
과 같이 정의된 연산자
J
{\displaystyle J}
에 의해 선형 복소 구조가 제공된다. 여기서
J
{\displaystyle J}
는 "
i
{\displaystyle i}
에 의한 곱셈" 연산을 의미한다. 행렬 형식으로
J
{\displaystyle J}
는 다음과 같다:
J
=
[
0
−
I
V
I
V
0
]
.
{\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}
이것은 공간을 다르게 구성하지만 동일한 공간을 생성한다. 선형 복소 구조를 가진 실 선형 공간은 복소 선형 공간과 동일하다. 따라서,
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
는
V
⊕
J
V
{\displaystyle V\oplus JV}
또는
V
⊕
i
V
{\displaystyle V\oplus iV}
로 쓸 수 있다.
V
{\displaystyle V}
는 직합의 첫 번째 성분으로 식별한다. 이 접근법은 더 구체적이고 기술적으로 관련된 텐서 곱의 사용을 피하는 이점이 있지만 임시적이다.
실수 좌표 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
의 복소화는 복소 좌표 공간
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
이다.
마찬가지로,
V
{\displaystyle V}
가 실수 성분이 포함된
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
행렬로 구성된 경우
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
는 복소수 성분이 포함된
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
행렬로 구성된다.
딕슨 배환 [ 편집 ]
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
에서
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
로 이동하는 복소화 과정은 레너드 딕슨 을 비롯한 20세기 수학자에 의해 추상화되었다. 하나는 항등사상
x
∗
=
x
{\displaystyle x^{*}=x}
을
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
에 대한 자명한 대합 으로 사용하는 것으로 시작한다. 다음으로
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
의 두 복사본을 사용하여, 복소 켤레 는
z
∗
=
(
a
,
−
b
)
{\displaystyle z^{*}=(a,-b)}
를 사용하여
z
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle z=(a,b)}
를 형성한다. 배가 된 집합의 두 원소
w
{\displaystyle w}
와
z
{\displaystyle z}
는 다음과 같이 곱한다.
w
z
=
(
a
,
b
)
×
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
d
∗
b
,
d
a
+
b
c
∗
)
.
{\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}
마지막으로, 배가 된 집합에는 노름
N
(
z
)
:=
z
∗
z
{\displaystyle N(z):=z^{*}z}
가 주어진다. 항등 대합을 사용하여
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
에서 시작할 때 배가 된 집합은 노름
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
를 사용하는
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
이다.
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
를 두 배로 하고 켤레
(
a
,
b
)
∗
=
(
a
∗
,
−
b
)
{\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b)}
를 사용하면 사원수 를 생성한다. 다시 두 배로 하면 케일리 수라고도 하는 팔원수 가 생성된다. 1919년 딕슨이 대수적 구조를 밝히는 데 기여한 것은 바로 이 시점이었다.
이 과정은
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
와 자명한 대합 z * = z 로 시작할 수도 있다. 생성된 노름은
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
두 배로 하여
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
를 생성하는 것과는 달리 단순히 z 2 이다. 이
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
가 2배가 되면 쌍복소수이고, 2배가 되면 쌍사원수이고, 다시 2배가 되면 쌍팔원수이다. 기본이 되는 대수가 결합적일 때, 이 케일리-딕슨 구성에 의해 생성된 대수는 합성 대수 라고 불린다. 왜냐하면 다음과 같은 성질이 있기 때문이다.
N
(
p
q
)
=
N
(
p
)
N
(
q
)
.
{\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}
복소 켤레 [ 편집 ]
복소화된 선형 공간
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
는 일반적인 복소 선형 공간보다 더 많은 구조를 가지고 있다. 표준 복소 켤레 사상과 함께 제공된다.
χ
:
V
C
→
V
C
¯
{\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}
,
χ
{\displaystyle \chi }
는
V
C
→
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }\rightarrow V^{\mathbb {C} }}
인 켤레 선형 사상 또는
V
C
→
V
C
¯
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}
인 복소 선형 동형 사상으로 볼 수 있다.
반대로 복소수 켤레
χ
{\displaystyle \chi }
를 갖는 복소 선형 공간
W
{\displaystyle W}
이 주어지면
W
{\displaystyle W}
는 실 부분공간의 복소화
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
에 대한 복소 선형 공간과 동형이다.
V
=
{
w
∈
W
:
χ
(
w
)
=
w
}
.
{\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}
즉, 켤레 복소수가 있는 모든 복소 선형 공간은 실 선형 공간의 복소화이다.
예를 들어,
W
=
C
n
{\displaystyle W=\mathbb {C} ^{n}}
일 때 표준 복소 켤레
χ
(
z
1
,
…
,
z
n
)
=
(
z
¯
1
,
…
,
z
¯
n
)
{\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})}
의 불변 부분공간
V
{\displaystyle V}
는 단순히 실 부분공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
이다.
선형 변환 [ 편집 ]
두 실 선형 공간 사이에 주어진 실 선형 변환
f
:
V
→
W
{\displaystyle f:V\rightarrow W}
에 대해 자연 복소 선형 변환
f
C
:
V
C
→
W
C
{\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }}
이 있다. 여기서
f
C
(
v
⊗
z
)
=
f
(
v
)
⊗
z
.
{\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}
사상
f
C
{\displaystyle f^{\mathbb {C} }}
는
f
{\displaystyle f}
의 복소화 라고 한다. 선형 변환의 복소화는 다음 성질을 갖는다:
(
i
d
V
)
C
=
i
d
V
C
{\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}
(
f
∘
g
)
C
=
f
C
∘
g
C
{\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}
(
f
+
g
)
C
=
f
C
+
g
C
{\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}
(
a
f
)
C
=
a
f
C
∀
a
∈
R
{\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} }
범주론 에서 복소화는 실 선형 공간 범주에서 복소 선형 공간 범주로 가는 (가산) 함자 를 정의한다고 말한다.
사상
f
C
{\displaystyle f^{\mathbb {C} }}
는 켤레와 사용하여 교환하므로
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
의 실 부분 공간을
W
C
{\displaystyle W^{\mathbb {C} }}
의 실 부분 공간에 사상한다 (사상 f 를 통해). 또한 복소 선형 사상
g
:
V
C
→
W
C
{\displaystyle g:V^{\mathbb {C} }\rightarrow W^{\mathbb {C} }}
는 오직 켤레로 교환하는 경우에만 실 선형 사상의 복소화이다.
예를 들어
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
행렬 로 생각되는 선형 변환
R
n
→
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}
을 고려하자. 해당 변환의 복소화는 정확히 동일한 행렬이지만
C
n
→
C
m
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m}}
인 선형 사상으로 여겨진다.
쌍대 공간과 텐서 곱 [ 편집 ]
실 선형 공간
V
{\displaystyle V}
의 쌍대공간은
V
→
R
{\displaystyle V\rightarrow \mathbb {R} }
인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
이다.
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
의 복소화는 당연히
V
→
C
{\displaystyle V\rightarrow \mathbb {C} }
인 모든 실 선형 사상들이 이루는 선형 공간
Hom
R
(
V
,
C
)
{\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} )}
으로 생각할 수 있다. 즉,
(
V
∗
)
C
=
V
∗
⊗
C
≅
H
o
m
R
(
V
,
C
)
.
{\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).}
동형은 다음과 같이 주어진다.
(
φ
1
⊗
1
+
φ
2
⊗
i
)
↔
φ
1
+
i
φ
2
{\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}
여기서
φ
1
,
φ
2
{\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}
는
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
의 원소이다. 그런 다음 일반적인 작업에 의해 복소 켤레가 제공된다.
φ
1
+
i
φ
2
¯
=
φ
1
−
i
φ
2
.
{\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.}
주어진 실 선형 사상
φ
:
V
→
C
{\displaystyle \varphi :V\rightarrow \mathbb {C} }
에 대해 복소 선형 사상
φ
:
V
C
→
C
{\displaystyle \varphi :V^{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbb {C} }
를 얻기 위해
선형으로 확대 할 수 있다. 즉,
φ
(
v
⊗
z
)
=
z
φ
(
v
)
.
{\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).}
이 확대는
Hom
R
(
V
,
C
)
{\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} )}
에서
Hom
C
(
V
C
,
C
)
{\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },\mathbb {C} )}
까지의 동형 사상을 제공한다. 후자는 단지
V
C
{\displaystyle V^{\mathbb {C} }}
에 대한 복소 쌍대 공간이므로, 다음과 같은
자연스러운 동형사상 이 있다:
(
V
∗
)
C
≅
(
V
C
)
∗
.
{\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}
더 일반적으로, 실 선형 공간
V
{\displaystyle V}
와
W
{\displaystyle W}
가 주어지면 자연스러운 동형사상
H
o
m
R
(
V
,
W
)
C
≅
H
o
m
C
(
V
C
,
W
C
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} })}
이 있다. 복소화는 또한
텐서 곱 ,
외승 및 대칭승을 취하는 작업과 교환한다. 예를 들어,
V
{\displaystyle V}
와
W
{\displaystyle W}
가 실 선형 공간인 경우 자연스러운 동형사상
(
V
⊗
R
W
)
C
≅
V
C
⊗
C
W
C
{\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,}
이 있다. 왼쪽 텐서 곱은 실수를 인계받는 반면 오른쪽 텐서 곱은 복소수를 인계한다. 일반적으로 동일한 패턴이 적용된다. 예를 들어, 하나는
(
Λ
R
k
V
)
C
≅
Λ
C
k
(
V
C
)
.
{\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}
모든 경우에 동형사상은 "자명한" 동형사상이다.
같이 보기 [ 편집 ]
스칼라의 확장 - 일반적 과정
선형 복소 구조
베이커–캠벨–하우스도르프 공식