범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 영어: adjoint functor) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.
두 범주 , 사이의 두 함자
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 와 사이의 수반(영어: adjunction) 는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.
여기서 및 는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.
여기서 및 는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.
이 경우, 를 의 왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: left-adjoint functor)라고 하고, 를 의 오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, 영어: right-adjoint functor)라고 하며, 은 쌍대단위원(雙對單位元, 영어: counit), 는 단위원(單位元, 영어: unit)이라고 한다. 이는 기호로
또는
와 같이 쓴다.
사상 집합을 통한 정의[편집]
와 가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자
는 다음과 같이 정의할 수 있다. 와 사이의 수반은 함자
사이의 자연 동형
이다.
프레이드 수반 함자 정리[편집]
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
- 는
- 는 범주이다.
프레이드 수반 함자 정리(영어: Freyd adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:121, Theorem V.6.2
- 는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
- 는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.
여기서 해집합 조건(解集合條件, 영어: solution set condition)이란 다음과 같다. 임의의 대상 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 및 사상들의 집합 이 존재한다.
- 임의의 및 사상 에 대하여, 를 만족시키는 및 가 존재한다.
만약 실제로 어떤 수반 함자쌍
이 존재한다면, 대상 에 대하여
로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.
특수 수반 함자 정리[편집]
다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.
- 는
- 는 국소적으로 작은 범주이다.
특수 수반 함자 정리(영어: special adjoint functor theorem)에 따르면, 함자 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:129, Theorem V.8.2
- 는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
- 는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.
자유-망각 수반[편집]
대수 구조 다양체의 범주 에서, 자유 대수 함자
는 망각 함자
의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.
곱-지수 수반[편집]
데카르트 닫힌 범주 의 임의의 대상 에 대하여, 곱 함자
는 지수 대상 함자
의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.
집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.
다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 이다.)
대각-극한 수반[편집]
범주 및 범주 가 주어졌고, 모든 함자 의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자
는 왼쪽 수반 함자
를 가진다. 이는 의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.
예를 들어, 가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면
는 서로 수반 함자를 이룬다.
마찬가지로, 범주 및 범주 가 주어졌고, 모든 함자 의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자
는 오른쪽 수반 함자
를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면
가 된다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]