대수적 수론에서 국소체(局所體, 영어: local field)는 위상체의 한 종류다. 대역체의 완비화로 얻어진다.
위상체
에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다.
비아르키메데스 국소체[편집]
비아르키메데스 국소체
의 이산 값매김
에 대하여,
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon |a|\leq 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7055739a8b9b4f1cbf3206712613d96c2732d1dc)
은 이산 값매김환을 이루며, 이를
의 대수적 정수환이라고 한다.
의 가역원군은
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=\{a\in K\colon |a|=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724847ed7f3ec5e90eae6ef841f2a7074441a851)
이며,
의 유일한 0이 아닌 소 아이디얼은
![{\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{a\in K\colon |a|<1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b16a6843bf8c58870ad8dc074399d8729b103a3)
이다.
는 주 아이디얼 정역이므로
은 주 아이디얼인데,
의 생성원을 균일화자(영어: uniformizer)
라고 한다.
의 잉여류체
는 유한체이다.
비아르키메데스 국소체
의
차 가역원군(영어:
th unit group)은 다음과 같다.
![{\displaystyle U_{K}^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}_{K}^{\times }:u\equiv 1{\pmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ec769e3deb574c6fb0e670a5359e752b85e5ca)
0차 가역원군은 (통상적) 가역원군
이다. 이에 대하여
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=U_{K}^{(0)}\supseteq U_{K}^{(1)}\supseteq \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889efb7fc95c8e64e7a26293f0645e2ccc987f47)
이며,
![{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/U_{K}^{(n)}\cong ({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n})^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c20f5b2c8f2a3be39bf8be7469e0b6ed88ec83)
이다.
가역원군의 구조[편집]
국소체
의 가역원군의 구조는 다음과 같다. 만약
가 아르키메데스 체일 경우,
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\cong (\mathbb {Z} /(2))\times \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33c98bff771c6845fff3dd639da43ab24d02945)
![{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\cong (\mathbb {R} /(2\pi ))\times \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141b510d17648eb8da655c9698d26178eb189fd7)
는 매우 익숙한 아벨 군이다.
만약
가 비아르키메데스 체일 경우,
![{\displaystyle K^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U_{K}^{(1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9e1a196f8694df6b71598f23fdd5d81ab212ba)
이다. 여기서
는
의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며,
은
의 정수환의 잉여류체
의 1의 거듭제곱근들의 군이며,
는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약
가
의 차수가
인 유한 확대라면
![{\displaystyle K^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(q-1)\oplus \mathbb {Z} /p^{a}\oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2137decd1c4878530eb09f6ed879ad9742b9b91)
이다. 여기서
는
의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약
이라면
![{\displaystyle \left(\mathbb {F} _{p^{n}}((x))\right)^{\times }\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(p^{n}-1)\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a27e1545acbed2a7bfdcdd51bed2e420becb8c30)
이다.
참고 문헌[편집]
- Serre, Jean-Pierre (1995). 《Local fields》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 67. Springer. ISBN 0-387-90424-7.
- Fesenko, Ivan B.; Sergei V. Vostokov (2002). 《Local fields and their extensions》. Translations of Mathematical Monographs (영어) 121 2판. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3259-2. MR 1915966.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]