선형대수학에서 고전적 수반 행렬(古典的隨伴行列, 영어: adjugate, classical adjoint)은 여인자 행렬의 전치 행렬이다.[1] 기호는
.
가환환
위의
정사각 행렬
의 고전적 수반 행렬은 여인자 행렬의 전치 행렬이다.
![{\displaystyle \operatorname {adj} M=\mathrm {C} (M)^{\top }\in \operatorname {Mat} (n;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd93e9f50377c72256034ad7f54b49554ce458e)
즉,
의
-성분은
의
번째 행 및
번째 열을 지운 여인자이다.
![{\displaystyle (\operatorname {adj} M)_{ij}=\mathrm {C} (M)_{ji}=(-1)^{i+j}\det(M_{\{1,\dots ,n\}\setminus \{j\},\{1,\dots ,n\}\setminus \{i\}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d92e57ffadb9a9397e6d21eee06e94d9df531f)
여기서
는 행렬식이다.
가환환
위의
정사각 행렬
에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.[1]
![{\displaystyle M\operatorname {adj} M=(\operatorname {adj} M)M=(\det M)1_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93287487873cc6767e5f903c79dc328ab15d8c1)
특히, 만약
가 가역원이라면 (
가 체인 경우 이는
이라는 조건과 같다),
의 역행렬은 다음과 같다.
![{\displaystyle M^{-1}=(\det M)^{-1}\operatorname {adj} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1521bde75145e0741246158743acab9d3d90d5)
그 밖에 다음 항등식들이 성립한다.
![{\displaystyle \det(\operatorname {adj} M)=(\det M)^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d197e65352891efc4236b18e60a65c4c129956)
![{\displaystyle \operatorname {adj} (M^{\top })=\operatorname {adj} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861d2434f1dddfadcd05a5982e6a9fddd0d21fa6)
1 × 1 일반 행렬[편집]
0이 아닌 1×1 행렬 (실수 혹은 허수)의 수반행렬은
이고, adj(0) = 0으로 정의한다.
2 × 2 일반 행렬[편집]
2×2 행렬
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da9ea28bbd7c3867911e57387bc6af9a801a290)
의 수반행렬은
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bd31737cb84eb151000b81a0bbd7a55ded3899)
이고, 직접 대입으로 다음을 보일 수 있다.
![{\displaystyle \mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaac96552666a234505da0d79ddcc9e9a68a2a11)
이 경우에는 det(adj(A)) = det(A)이 성립하고, 결국 adj(adj(A)) = A이다.
3 × 3 일반 행렬[편집]
다음 3×3 행렬은
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c32ee9eb722237ab903885d53def5588d7b48a8)
다음과 같이 여인자_행렬을 구하고
![{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d215da3507bda768060015f63cfc6c7bbe6eb0b2)
여기서
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e4f7aee5c4c13553eb08ab5b04e5292bbb152ea)
수반행렬은 이 여인자행렬의 전치 행렬로 다음과 같이 구해진다.
![{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fc09808599cf39611b7dce5fc27aa6e7bd424c)
3 × 3 행렬 수치 계산 예[편집]
다음 행렬의 수반행렬은 아래와 같이 구해진다.
![{\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5118141dfac3aa1f45efe2dddfd8b96ba90b946f)
이 수반행렬이 원래 행렬의 역행렬에 행렬식 −6을 곱한 것과 같다는 것을 쉽게 보일 수 있다.
수반행렬의 두번째 행 세번째 열에 −1은 다음과 같이 구해진다. 수반행렬의 (2행,3열)값은 여인자행렬의 (3행,2열)값이다. 여인자는 해당 행과 열을 없앤 부분_행렬,
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a954cf3c577f2f760199ef28326e9f59b4e9c02)
과 (3행,2열)에 해당하는 부호값을 이용하여 다음과 같이 구해진다.
![{\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/534e0b43ff3ac448d53c4667c14271f109350a42)
그러므로 수반행렬의 (2행,3열)값은 −1이다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]