선형대수학에서 가역 행렬(可逆行列, 영어: invertible matrix) 또는 정칙 행렬(正則行列, 영어: regular matrix) 또는 비특이 행렬(非特異行列, 영어: non-singular matrix)은 그와 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬이다. 이를 그 행렬의 역행렬(逆行列, 영어: inverse matrix)이라고 한다.
체
위에서 정의된
행렬
에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 이 조건이 성립할 경우
를
의 역행렬이라고 하며,
를
와 같이 표기한다.
![{\displaystyle AB=I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe3b83d955596b1aa48a758c0efb9447f52d9ca)
![{\displaystyle BA=I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38001dec400850da2d0be2314ca3350a7cf2fab4)
![{\displaystyle AB=BA=I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ff5397ac1a187db937842a1327ea6a6805aa78)
체
위에서 정의된
행렬
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
를 가역 행렬이라고 한다.
- 역행렬을 갖는다.
- 유일한 역행렬을 갖는다.
- 유한 개의 기본 행렬의 곱이다.
- 단위 행렬과 행동치이다.
- 단위 행렬과 열동치이다.
- 단위 행렬과 동치이다.
- 방정식
의 해는
뿐이다. 즉
이다.
- 방정식
의 해는
의 값과 무관하게 항상 유일하다.
의 열이
의 기저를 이룬다.
(여기서
는 행렬식이다.)
(여기서
는 계수이다.)
(여기서
이다.)
- 0을 고윳값으로 가지지 않는다.
전치 행렬과의 관계[편집]
체
위에서 정의된
행렬
에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
는 가역 행렬이다.
는 가역 행렬이다.
는 가역 행렬이다.
항등식[편집]
체
위에서 정의된
행렬
에 및 스칼라
에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
![{\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f04dd5a4180381105e117aaaf437ebe22b9eba7)
![{\displaystyle (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69070ab82c1cd0a408df466f412c66c4ad6c8a3)
![{\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0eaffc1bb26134f9aa57c902fd32cc76f10c88b)
즉, 체
위의
가역 행렬의 집합은 군을 이루며, 이를 일반선형군
이라고 한다. 또한, 역행렬은 일반선형군의 자기 반대 동형을 정의한다.
가우스 소거법[편집]
가우스 소거법은 어떤 행렬이 가역행렬인지를 판단하고 그 행렬의 역행렬을 구할 수 있는 알고리즘이다. LU 분해를 이용해 두 개의 삼각행렬로 분해하면 가우스 소거법을 더 빨리 계산할 수 있다. 또는
행렬을
을 원소로 갖는
행렬로 나누어 재귀적으로 계산하면 행렬의 특성에 따라 더 빠른 계산이 가능하다.
수치해석적 방법[편집]
행렬의 공통인자로 이루어진 행렬을 구해 계산하면 작은 크기의 행렬에 대해서는 더 빨리 계산할 수도 있다. (큰 행렬에 대해서는 적당치 않을수있다) 다음과 같이 공통인자 행렬을 구한다.
여기서
가 홀수일 때 이고(
)
가 짝수일 때 (
)이다. 즉,
이다.
여기서
는
의 행렬식을 가리키고
는 행렬의 공통인자,
는 행렬의 소행렬식,
는
의 전치행렬을 가리킨다.
수치 해석에서 대부분의 경우 선형 시스템을 풀기 위해 역행렬을 구할 필요는 없기 때문에 이 방법으로 실제로 역행렬을 구하는 경우는 별로 없다.
2 × 2 행렬의 역행렬[편집]
위의 공통인자 방정식에서
이 2일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.
![{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/854220c6c62164f1662fdb45e502a342d1b5bc1a)
2 × 2 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.
3 × 3 행렬의 역행렬[편집]
위의 공통인자 방정식에서
이 3일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.
![{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&-(bi-ch)&bf-ce\\-(di-fg)&ai-cg&-(af-cd)\\dh-eg&-(ah-bg)&ae-bd\end{bmatrix}}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5749f87e4b149a62e5a5b653903fbbfebfc9c6)
![{\displaystyle |A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=-d(bi-ch)+e(ai-cg)-f(ah-bg)=g(bf-ce)-h(af-cd)+i(ae-bd)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63574b3b8ef9febdfc80b2d83cb898516db013cd)
작은 블록으로 나눠서 계산하는 법[편집]
다음과 같은 식을 이용하면 행렬을 몇 개의 작은 블록 행렬로 나누어 계산할 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8db67a30de30350db5068c661dde0c9050ed2b18)
는 행렬의 임의의 작은 블록이다. 이 방법은
가 대각행렬이고
의 슈어 보수행렬
이 작은 크기일 때 특히 유용하다. 두 개의 행렬에 대한 역행렬만 계산하면 되기 때문이다. 이 방법은 행렬을 더 빠르게 곱하는 슈트라센 알고리즘의 개발자 포커 슈트라센이 발견했다.
역행렬의 도함수[편집]
행렬
가
라는 변수에 따라 변한다고 하자. 이때
의 역행렬의 도함수는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-A^{-1}{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}A^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec62f9ba822031fff34e6c559e4542961df78a7)
역행렬과 행렬의 나눗셈[편집]
행렬
와
에서,
이고,
이다.
이다.
스칼라 행렬
는,
이고,
이다.
대각화행렬에서는
- 임의의 행렬 A를 예약하고 고윳값 행렬 P를 조사하고 P의 역행렬 P-1를 통해서,
![{\displaystyle P^{-1}AP=A^{D}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/509bca8a48f0950ade941cdd0aaf0666503cc371)
대각화 행렬 AD를 얻을수있다. 여기서,
![{\displaystyle AP={{A^{D}} \over {P^{-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5b9631473a9663cef04975a181de0cbf4bd4ce)
![{\displaystyle AP={P}{A^{D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ee5ba5b2a7a052243c4885d6a925b22d55b1dd)
처럼 대각화행렬에서는 역행렬의 나눗셈 성질을 갖는다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]