선형대수학에서 크래머 법칙(Cramer法則, 영어: Cramer's rule) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.
연립 일차 방정식
![{\displaystyle Ax=B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a6f7e4ea741678b16c4b33a6b48f1b3ee97812)
에서,
가 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 법칙이라고 한다.
![{\displaystyle x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}={\frac {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &b_{1}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &b_{2}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &b_{n}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &a_{2j}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nj}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}\qquad (j=1,\dots ,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b063cb0d9acc0aed7f58ad881d845a2e2598e7f)
여기서
는
의
번째 열을
로 대신하여 얻는 행렬이다.
연립 일차 방정식
![{\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf2923f4839ab2af4022f5106bca791dfa41d7b)
![{\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aad8ba1bca52827f356381834f54e4d48efe9fb)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3749cdab382f0093edddf3ceac10e22f7eaf197f)
의 계수 행렬
의
-여인자를
라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.
![{\displaystyle a_{1k}C_{1j}+a_{2k}C_{2j}+\cdots +a_{nk}C_{nj}={\begin{cases}\det A&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254a2218d4789c368577f9238df677981e819b77)
![{\displaystyle b_{1}C_{1j}+b_{2}C_{2j}+\cdots +b_{n}C_{nj}=\det A_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f3a8ab518487a24c6e1f4419097bb9aeae4d22)
이에 따라, 각
번째 방정식에
을 곱한 뒤 모두 합하면
![{\displaystyle \det A\cdot x_{j}=\det A_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1b5a50a80df6af63acb44d1a28adc5abf6df0c)
를 얻는다.
이므로, 양변을
로 나누면
![{\displaystyle x_{j}={\frac {\det A_{j}}{\det A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1dd28d182db2d0a5b795a5b124cedd020863a53)
를 얻는다.
2개의 방정식의 경우[편집]
연립 일차 방정식
![{\displaystyle ax+by=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749c0c0b274227fe015c5eab67e57158dffa0265)
![{\displaystyle cx+dy=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69fc514a77673a22b505438e81a31ed50fb931cb)
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
![{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {ed-bf}{ad-bc}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={\frac {af-ec}{ad-bc}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17beb26971399cea27e117447a42c1f9aa5eb903)
3개의 방정식의 경우[편집]
연립 일차 방정식
![{\displaystyle ax+by+cz=j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb0129ffa74c444e834ea092382e7cd05550bda)
![{\displaystyle dx+ey+fz=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa75bee9efdd499549b8edc6b057c0b93419e413)
![{\displaystyle gx+hy+iz=l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5068d56b189a7d0522ddf8787f5d496de4db07a)
이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.
![{\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}j&b&c\\k&e&f\\l&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;y={\frac {\begin{vmatrix}a&j&c\\d&k&f\\g&l&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\;z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&j\\d&e&k\\g&h&l\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1851da29f2d048c89b25eb0fc1af90941fe22c1d)
미분기하학[편집]
크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식
,
이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고,
,
라 정의한다.
여기서
의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.
먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.
![{\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e06ed09a6e21af8271ed7feee03881d2a1e7f3)
![{\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd8e1b611e6ebe5a6163e2a35dc105cee9b61aa)
![{\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a81dd7f07351b26f523c8403078143fe6e1f60b)
![{\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716a5350c66e8704180284d1775656738c52fbe7)
dF, dG에 dx와 dy를 대입하면
![{\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc5c9c2eab4b49bf9067123796dd79311f96fc3)
![{\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c9931c724fb95ca2c30e753800dba7cda85154)
u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6178d8b188a777327a478161d76ed6f7c2a364c)
![{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d3e256e9cb1063e7e321947548016f95d9d332d)
![{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f906aa9d48280241628eba00e90dc324f1741b63)
![{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386450c3dccbab28c4361d76766d820de8eb6c01)
따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487360e3e5acf9fde192af416b8428ad3ac99d87)
이것은 두 개의 야코비안 항이다.
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e13c162afd0861ef40ba4d6d8f7579f99a34c3f)
유사하게
,
,
의 공식들도 유도할 수 있다.
스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]