위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 선형 변환 을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수평 축은 그대로 수평 축으로 남기 때문에 푸른색 화살표는 방향이 변하지 않지만 붉은색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 푸른색 화살표는 이 변환의 고유 벡터 가 되고 붉은색 화살표는 고유 벡터가 아니다. 또한 푸른색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 고윳값 은 1이다.
선형대수학 에서, 선형 변환 의 고유벡터 (固有vector, 영어 : eigenvector 아이건벡터[* ] )는 그 선형 변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는, 0이 아닌 벡터이다. 고유 벡터의 길이가 변하는 배수를 선형 변환의 그 고유 벡터에 대응하는 고윳값 (固有값, 영어 : eigenvalue 아이건밸류[* ] )이라고 한다. 선형 변환은 대개 고유 벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다.
고유 벡터와 고유값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형대수학 , 함수해석학 , 그리고 여러 가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.
역사와 어원 [ 편집 ]
오늘날 선형대수학 에 속하는 고윳값과 고유 벡터의 개념은 원래 19세기에 이차 형식 및 미분 방정식 이론으로부터 발달하였다. 19세기에 오귀스탱 루이 코시 는 고전역학 에서 관성 모멘트 의 주축 의 개념을 추상화하여 이차 곡면 을 분류하였고, 고윳값의 개념을 도입하였다. 코시는 오늘날 고윳값에 해당하는 개념을 "특성근"(프랑스어 : racine caractéristique 라신 카락테리스티크[* ] )이라고 불렀다. 또한, 코시는 대칭행렬 이 실수 고윳값들을 가진다는 사실을 발견하였다. 1885년 샤를 에르미트 는 이를 확장하여, 일반적으로 에르미트 행렬 이 실수 고윳값들을 가진다는 것을 보였다.
20세기 초에 다비트 힐베르트 가 오늘날 쓰이는 용어인 "고유 벡터"(독일어 : Eigenvektor 아이겐벡토어[* ] )와 "고윳값"(독일어 : Eigenwert 아이겐베르트[* ] )을 도입하였다. (그러나 수학 외의 분야에서 헤르만 폰 헬름홀츠 가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) "아이겐"(독일어 : eigen )은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.
체
K
{\displaystyle K}
에 대한 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
위의 선형 변환
T
:
V
→
V
{\displaystyle T\colon V\to V}
가 주어졌다고 하자. 만약 어떤
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
와
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K}
가
v
≠
0
{\displaystyle v\neq 0}
T
v
=
λ
v
{\displaystyle Tv=\lambda v}
를 만족시키면,
v
{\displaystyle v}
를
T
{\displaystyle T}
의 고유 벡터 라고 하고,
λ
{\displaystyle \lambda }
를
T
{\displaystyle T}
의 (
v
{\displaystyle v}
에 대응하는) 고윳값 이라고 한다.
V
{\displaystyle V}
가 일종의 함수 공간인 경우, 고유 벡터 대신 고유 함수 (固有函數, 영어 : eigenfunction )라는 용어를 사용하기도 한다.
고유 공간 [ 편집 ]
고윳값
λ
{\displaystyle \lambda }
의 고유 공간 (固有空間, 영어 : eigenspace )은 그 고유 벡터들과 0으로 구성되는 부분 벡터 공간 이다. 즉 선형 변환
T
−
λ
I
{\displaystyle T-\lambda I}
의 핵 이다.
V
λ
=
{
v
∈
V
:
T
v
=
λ
v
}
{\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V\colon Tv=\lambda v\}}
유한 차원 벡터 공간 위의 선형 변환
T
{\displaystyle T}
의 고유 다항식 (固有多項式, 영어 : characteristic polynomial )은
K
{\displaystyle K}
위의
n
=
dim
V
{\displaystyle n=\dim V}
차 다항식
det
(
x
I
−
T
)
{\displaystyle \det(xI-T)}
이다.
고윳값
λ
{\displaystyle \lambda }
의 기하적 중복도 (幾何的重複度, 영어 : geometric multiplicity )는 그 고유 공간의 차원 이다.
λ
{\displaystyle \lambda }
의 대수적 중복도 (代數的重複度, 영어 : algebraic multiplicity )는 고유 다항식 의 근
x
=
λ
{\displaystyle x=\lambda }
의 중복도이다.
선형 변환
T
{\displaystyle T}
의 스펙트럼 (영어 : spectrum )
Spec
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {Spec} (T)}
는 그 고윳값들의 대수적 중복도를 감안한 중복 집합 이다.
고유 기저 [ 편집 ]
선형 변환
T
{\displaystyle T}
의 고유 기저 (固有基底, 영어 : eigenbasis )는
T
{\displaystyle T}
의 고유 벡터들로 구성된
V
{\displaystyle V}
의 기저 이다. 고유 기저는 항상 존재하지는 않으나, (예를 들어)
V
{\displaystyle V}
가 유한 차원 복소수 벡터 공간 이고
T
{\displaystyle T}
가 에르미트 연산자 인 경우 존재한다. 고유 기저가 존재하는 선형 변환을 대각화 가능 선형 변환 (對角化可能線型變換, 영어 : diagonalizable linear transformation )이라고 한다. 이는 선형 변환의 어떤 (모든) 행렬이 대각화 가능 행렬 인 것과 동치이다.
정사각 행렬 을 선형 변환으로 볼 수 있으므로, 위의 개념들은 정사각 행렬에게도 적용되며, 닮음 불변 이다.
선형 변환
T
:
V
→
V
{\displaystyle T\colon V\to V}
에 대하여 다음 조건들이 동치이다.
λ
{\displaystyle \lambda }
가
T
{\displaystyle T}
의 고윳값이다.
λ
I
−
T
{\displaystyle \lambda I-T}
가 특이 행렬 이다.
det
(
λ
I
−
T
)
=
0
{\displaystyle \det(\lambda I-T)=0}
, 즉
λ
{\displaystyle \lambda }
가 고유 다항식의 근 이다.
만약
T
{\displaystyle T}
가 유한 차원 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
위의 선형 변환이라면, 그 고유 공간들은 선형 독립이다. 즉,
dim
∑
λ
∈
Spec
(
T
)
V
λ
=
∑
λ
∈
Spec
(
T
)
dim
V
λ
{\displaystyle \dim \sum _{\lambda \in \operatorname {Spec} (T)}V_{\lambda }=\sum _{\lambda \in \operatorname {Spec} (T)}\dim V_{\lambda }}
대각화 가능 선형 변환 [ 편집 ]
유한 차원 벡터 공간
V
{\displaystyle V}
위의 선형 변환
T
:
V
→
V
{\displaystyle T\colon V\to V}
에 대하여, 다음 조건들은 동치이다.
T
{\displaystyle T}
는 대각화 가능하다. (즉,
T
{\displaystyle T}
의 고유 기저가 존재한다.)
T
{\displaystyle T}
의 고유 다항식이 일차 다항식의 곱이며, 고윳값의 대수적 중복도와 기하적 중복도가 같다.
dim
V
=
∑
λ
∈
Spec
(
T
)
dim
V
λ
{\displaystyle \dim V=\sum _{\lambda \in \operatorname {Spec} (T)}\dim V_{\lambda }}
V
=
⨁
λ
∈
Spec
(
T
)
V
λ
{\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in \operatorname {Spec} (T)}V_{\lambda }}
실수 또는 복소수 (유한)
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬
M
{\displaystyle M}
이
Spec
(
M
)
=
{
λ
1
,
…
,
λ
n
}
{\displaystyle \operatorname {Spec} (M)=\{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\}}
이라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬의 고윳값들의 (대수적 중복도를 고려한) 수는
n
{\displaystyle n}
이다.
|
Spec
(
M
)
|
=
n
{\displaystyle |\operatorname {Spec} (M)|=n}
정사각 행렬의 대각합
(
t
r
)
{\displaystyle ({tr})}
은 그 고윳값들의 합이며, 정사각 행렬의 행렬식
(
det
)
{\displaystyle (\det )}
은 고윳값들의 곱이다.
tr
M
=
∑
Spec
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {tr} M=\sum \operatorname {Spec} (M)}
det
M
=
∏
Spec
(
M
)
{\displaystyle \det M=\prod \operatorname {Spec} (M)}
모든 양의 정수
k
{\displaystyle k}
에 대하여,
M
k
{\displaystyle M^{k}}
의 고윳값은
M
{\displaystyle M}
의 고윳값들의
k
{\displaystyle k}
제곱이다.
Spec
(
M
k
)
=
Spec
(
M
)
k
=
{
λ
1
k
,
λ
2
k
,
…
,
λ
n
k
}
{\displaystyle \operatorname {Spec} (M^{k})=\operatorname {Spec} (M)^{k}=\{\lambda _{1}^{k},\lambda _{2}^{k},\dotsc ,\lambda _{n}^{k}\}}
만약
M
{\displaystyle M}
이 가역 행렬 이라면, 이는 모든 정수
k
{\displaystyle k}
에 대해서도 성립한다.
유니터리 행렬 의 고윳값의 절댓값은 모두 1이다.
M
M
∗
=
M
∗
M
=
I
⟹
|
λ
1
|
=
|
λ
2
|
=
⋯
=
1
{\displaystyle MM^{*}=M^{*}M=I\implies |\lambda _{1}|=|\lambda _{2}|=\cdots =1}
M
=
M
∗
⟹
λ
1
,
λ
2
,
⋯
∈
R
{\displaystyle M=M^{*}\implies \lambda _{1},\lambda _{2},\dots \in \mathbb {R} }
삼각 행렬 의 고윳값들은 그 대각선의 원소들이다.
(
i
<
j
⟹
M
i
j
=
0
)
⟹
Spec
(
M
)
=
{
M
11
,
M
22
,
…
,
M
n
n
}
{\displaystyle (i<j\implies M_{ij}=0)\implies \operatorname {Spec} (M)=\{M_{11},M_{22},\dotsc ,M_{nn}\}}
고윳값들이 모두 서로 다를 때, 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터는 선형 독립 이다.[1]
1 × 1 행렬[ 편집 ]
실수
1
×
1
{\displaystyle 1\times 1}
행렬
A
=
(
a
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}}}
의 유일한 고윳값은
a
{\displaystyle a}
이며, 이에 대응하는 고유 벡터는 모든 0이 아닌 벡터이다.
2 × 2 행렬[ 편집 ]
실수
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
행렬
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
의 고유 다항식은 다음과 같다.
det
(
x
I
−
A
)
=
(
x
−
a
−
b
−
c
x
−
d
)
=
x
2
−
(
a
+
d
)
x
+
(
a
d
−
b
c
)
=
x
2
−
tr
A
x
+
det
A
{\displaystyle {\begin{aligned}\det(xI-A)&={\begin{pmatrix}x-a&-b\\-c&x-d\end{pmatrix}}\\&=x^{2}-(a+d)x+(ad-bc)\\&=x^{2}-\operatorname {tr} Ax+\det A\end{aligned}}}
따라서 판별식은 다음과 같다.
Δ
=
tr
2
A
−
4
det
A
{\displaystyle \Delta =\operatorname {tr} ^{2}A-4\det A}
이에 따라,
A
{\displaystyle A}
를 실수 행렬로 보는 경우,
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
이면, 서로 다른 두 실수 고윳값을 갖는다.
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
이면, 유일한 실수 고윳값을 가지며, 그 대수적 중복도는 2이다.
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
이면, 실수 고윳값을 갖지 않는다. 다만, 복소수 행렬로 보는 경우 서로 다른 두 허수 고윳값을 가지며, 이들은 켤레 복소수 이다. 이 경우, 두 허수 고윳값에 대응하는 벡터 역시 실수 벡터가 아니다. (그렇지 않다면, 그 상 역시 실수 벡터이므로, 고윳값이 실수가 된다. 이는 모순이다.)
유클리드 공간 [ 편집 ]
3차원 회전 변환 의 고유 벡터는 그 회전축에 놓인 벡터들이다. 회전한 후에도 이들의 길이와 방향은 변하지 않으므로 그들의 고윳값은
λ
=
1
{\displaystyle \lambda =1}
이다. 이에 대한 고유 공간은 회전축에 평행한 모든 벡터의 집합이므로, 1차원이다. 그밖의 고윳값 및 고유 벡터는 존재하지 않는다.
지구가 주어진 시간 동안의 자전을 선형 변환으로 볼 때에도 이와 같이 분석된다. 지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 화살표 중, 자전축 위에 놓이지 않은 화살표는 회전하며 방향이 변하고, 자전축을 향하거나 길이가 없는 화살표는 그 길이와 방향이 변하지 않는다.
얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 2배 확대시키자. 이때 중심을 시작점으로 하는 벡터들은 모두 방향의 변화 없이 길이가 2배가 된다. 따라서 이 변환의 유일한 고윳값은 2이고, 대응하는 고유 벡터는 모든 0이 아닌 벡터이다.
계산 실례 [ 편집 ]
정사각 행렬의 고윳값과 고유 벡터는, 보통 (특히 행렬의 크기가 작은 경우) 고유 다항식을 통해 계산된다. 구체적으로, 고유 다항식을 구하고, 근을 구하고, 각 근에 대응하는 선형 방정식을 풀이한다. 큰 행렬에 대해서는 고유 다항식이 복잡해지므로 수치적 방법을 통해 근사적으로 구하기도 한다.
예를 들어, 실수 행렬
A
=
(
1
2
2
2
1
2
2
2
1
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}}}
의 고윳값과 고유 벡터를 구하는 과정은 다음과 같다. 우선
A
{\displaystyle A}
의 고유 다항식을 구한다.
det
(
x
I
−
A
)
=
det
(
x
−
1
−
2
−
2
−
2
x
−
1
−
2
−
2
−
2
x
−
1
)
=
(
x
+
1
)
2
(
x
−
5
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\det(xI-A)&=\det {\begin{pmatrix}x-1&-2&-2\\-2&x-1&-2\\-2&-2&x-1\end{pmatrix}}\\&=(x+1)^{2}(x-5)\end{aligned}}}
근
x
=
−
1
,
5
{\displaystyle x=-1,5}
가 곧
A
{\displaystyle A}
의 고윳값이다. 고윳값
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
에 대한 선형 방정식의 계수 행렬 을 구한다.
−
I
−
A
=
(
−
2
−
2
−
2
−
2
−
2
−
2
−
2
−
2
−
2
)
{\displaystyle -I-A={\begin{pmatrix}-2&-2&-2\\-2&-2&-2\\-2&-2&-2\end{pmatrix}}}
이에 대한 해공간은 다음과 같은 기저 로 선형 생성됨을 알 수 있다.
b
1
=
(
1
0
−
1
)
{\displaystyle b_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}
b
2
=
(
0
1
−
1
)
{\displaystyle b_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}}
비슷하게, 고윳값
x
=
5
{\displaystyle x=5}
에 대한 선형 방정식의 계수 행렬은
5
I
−
A
=
(
4
−
2
−
2
−
2
4
−
2
−
2
−
2
4
)
{\displaystyle 5I-A={\begin{pmatrix}4&-2&-2\\-2&4&-2\\-2&-2&4\end{pmatrix}}}
이고, 해공간의 기저는
b
3
=
(
1
1
1
)
{\displaystyle b_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}}
이다.
A
{\displaystyle A}
의 고윳값과 고유 벡터는 이로써 명백해진다.
고윳값 없음 [ 편집 ]
고윳값을 갖지 않는 실수 행렬의 예로는 (시계 방향) 90도 회전 변환의 행렬
A
=
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
이 있다.
A
{\displaystyle A}
의 고유 다항식은
det
(
x
I
−
A
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle \det(xI-A)=x^{2}+1}
이므로, 실수 행렬로서는 고윳값을 갖지 않는다. 다만, 복소수 행렬로서는 한 쌍의 켤레 복소수
±
i
{\displaystyle \pm i}
를 고윳값으로 갖는다. 이들에 대응하는 고유 벡터는 물론 허수 벡터(즉
∈
C
2
∖
R
2
{\displaystyle \in \mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {R} ^{2}}
)이다.
고유 함수 [ 편집 ]
실수 무한번 미분 가능 함수들의 벡터 공간
C
∞
(
R
)
{\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}
위의 미분 연산자
d
d
x
:
C
∞
(
R
)
→
C
∞
(
R
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )}
은 선형 변환이다.
d
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}}
의 고유 함수 및 고윳값의 튜플
(
f
,
λ
)
∈
C
∞
(
R
)
×
R
{\displaystyle (f,\lambda )\in C^{\infty }(\mathbb {R} )\times \mathbb {R} }
는 다음을 만족시켜야 한다.
d
f
d
x
=
λ
f
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}=\lambda f}
이 경우 모든
λ
∈
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
이 고윳값이며,
λ
{\displaystyle \lambda }
에 대응하는 (유일한 유형의) 고유 함수는 지수 함수
f
(
x
)
=
c
e
λ
x
(
c
≠
0
)
{\displaystyle f(x)=ce^{\lambda x}\quad (c\neq 0)}
이다. (
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
인 경우, 이는 0이 아닌 상수 함수 이다.)
같이 보기 [ 편집 ]
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