선형대수학에서 대각합(對角合, 영어: trace 트레이스[*], 독일어: Spur 슈푸어[*])은 정사각 행렬의 주대각선 성분들의 합이다. 기호는 tr 또는 Sp.
정사각 행렬
의 대각합
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}=A_{11}+A_{22}+\cdots +A_{nn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcfbdfe3ce3ede90dddbd8c7b53719e8adad265)
함수로서, 대각합
는 선형 범함수이다. 즉, 임의의
차 정사각 행렬
,
와 스칼라
에 대하여 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0acd6decc9d92d99c3504ce8288834fd5767e0e)
![{\displaystyle \operatorname {tr} (cA)=c\operatorname {tr} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/656b603baa68a1072912570f1fc851ea1ba33a9f)
서로 전치 행렬의 대각합은 서로 같다. 이는 행렬을 전치했을 때 주대각선 성분이 변하지 않기 때문이다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\operatorname {T} })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfaf3536ee2c54179bc7fcbaf6f8fcf8a70c6a2f)
임의의
행렬
및
행렬
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e3cc6cb1fb477706acf1c248d6f66882df7176)
![{\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}(AB)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(BA)_{jj}=\operatorname {tr} (BA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2e9fe30c7ff6b21d371f8ad854561695b6c8f3)
대각합은 닮음 불변량이다. 즉, 서로 닮음 행렬의 대각합은 서로 같다. 즉, 임의의
차 가역 행렬
및
차 정사각 행렬
에 대하여, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fdb813eb04325e5e98fce9b01c735021de60bd8)
![{\displaystyle \operatorname {tr} (P^{-1}AP)=\operatorname {tr} ((P^{-1}A)P)=\operatorname {tr} (P(P^{-1}A))=\operatorname {tr} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0499eab22bb9479cfae9dfc339cd637d16c7f25f)
행렬의 대각합은 (중복도를 고려한) 고윳값들의 합과 같다. 사실 대각합은 행렬의 특성 다항식의 한 계수이다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{\lambda \in \sigma (A)}\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b47e6bf5e3d3462469cae1eff9253d12d167829)
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Jin Ho Kwak, Sungpyo Hong (2004). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Birkhäuser. ISBN 0817642943.
외부 링크[편집]