환론과 호몰로지 대수학에서 호몰로지 차원(homology次元, 영어: homological dimension)은 환 및 그 가군 위에 정의될 수 있는 일련의 정수 값 차원들이다.
아래 정의에서, 항상
![{\displaystyle \sup \varnothing =-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb2b29333e7e20077a76d153037ab27bdc6dad3f)
![{\displaystyle \inf \varnothing =+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143100322a2586d3181525c95d110f79d3b92aec)
로 놓는다.
함자의 차원[편집]
두 아벨 범주
,
사이의 가법 함자
![{\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671d27a5aa4c9a0b05820e430f68838d57465429)
가 주어졌다고 하자.
만약
가 단사 대상을 충분히 가지는 범주일 때,
의 코호몰로지 차원(cohomology次元, 영어: cohomological dimension)은 다음과 같다.[1]:394, Definition 10.5.10
![{\displaystyle \operatorname {cohd} F=\sup\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {R} ^{n}F(A)=0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\}\in \mathbb {N} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/275de9ec164de97614faebc827495b331ea00ece)
여기서
은
차 오른쪽 유도 함자를 뜻한다.
만약
이라면
이다.
만약
가 사영 대상을 충분히 가지는 범주일 때,
의 호몰로지 차원(homology次元,영어: homological dimension)은 다음과 같다.[1]:394, Definition 10.5.10
![{\displaystyle \operatorname {hd} F=\sup\{n\in \mathbb {N} \colon \operatorname {L} _{n}F(A)=0\qquad \forall A\in {\mathcal {A}}\}\in \mathbb {N} \sqcup \{-\infty ,+\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5697688c020ebebbf39e5b1f95beb83f29243d0)
여기서
은
차 왼쪽 유도 함자를 뜻한다.
만약
이라면
이다.
아벨 범주의 대상(가군)의 차원[편집]
Ext 함자 및 Tor 함자는 유도 함자의 특수한 경우이다. 이들을 사용하여, 아벨 범주의 대상에 대하여 여러 차원들을 정의할 수 있다.
사영 차원[편집]
아벨 범주
의 대상
의 사영 차원(射影次元, 영어: projective dimension)
![{\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}M\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,-\infty ,+\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b481cbc51f35db4d2ac56942d8376f47f968acc)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}M=\sup _{N\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7c3c1b35eb2d5d05c28f09ec1815604ae9f333c)
여기서
은 모든 대상
에 대한 상한이며,
는 Ext 함자이다.
만약
가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.
은
의 사영 분해(영어: projective resolution)
의 길이
들의 하한이다.
![{\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}M=\operatorname {cohd} \hom _{\mathcal {C}}(M,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609e543344ab349b487bcaef70d9807901d6f164)
특히, 영 대상
의 사영 차원은
이다.
단사 차원[편집]
아벨 범주
의 대상
의 단사 차원(單射次元, 영어: injective dimension)
![{\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}N\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0,-\infty ,+\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a736a78566c07831428739625f1fcb3720a37dd5)
은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {id} _{\mathcal {C}}N=\sup _{M\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3886f1bcb599e289e3f0392572b636fb41bb2475)
만약
가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.
은
의 단사 분해(영어: injective resolution)
의 길이
들의 하한이다.
![{\displaystyle \operatorname {pd} _{\mathcal {C}}N=\operatorname {hd} \hom _{\mathcal {C}}(-,N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b33f5cdcab36ed2304962a3ed005c885be594f)
특히, 영 대상
의 단사 차원은
이다.
평탄 차원[편집]
환
위의 오른쪽 가군
의 평탄 차원(平坦次元, 영어: flat dimension) 또는 약한 차원(弱-次元, 영어: weak dimension)은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {fd} _{R}M=\sup _{N\in {}_{R}\operatorname {Mod} }\{\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97d16d1dbc522720179570384766bcd44977a07)
마찬가지로,
위의 왼쪽 가군
의 평탄 차원 또는 약한 차원은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {fd} _{R}N=\sup _{M\in \operatorname {Mod} _{R}}\{\operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,N)\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4692634ff7186ffacad4de221177e895efdf1beb)
이는
또는
의, 평탄 가군으로 구성된 분해의 길이들의 하한과 같다.
아벨 범주(환)의 차원[편집]
아벨 범주
의 대역 차원(大域次元, 영어: global dimension)
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup _{M,N\in {\mathcal {C}}}\{n\colon \operatorname {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(M,N)\neq 0\}=\sup _{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {cohd} (\hom _{\mathcal {C}}(M,-))=\sup _{N\in {\mathcal {C}}}\operatorname {cohd} (\hom _{\mathcal {C}}(-,N))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1252197d285ca62c846561f650833af3c9708b35)
만약
가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 단사 차원의 상한과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup _{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {id} _{R}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0cfd5f86fb8ca7a7233ad007ecf98f12aa9a5b)
만약
가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 이는 사영 차원의 상한과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup _{M\in {\mathcal {C}}}\operatorname {pd} _{R}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e129c7c43e1988a5f95b531c2d16f5df888b52bd)
환
위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주
는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이며 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 또한, 환
위의 왼쪽 유한 생성 가군들의 아벨 범주
는 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. (그러나 이는 일반적으로 단사 대상을 충분히 가지는 범주이다.) 이 두 아벨 범주의 대역 차원은 일치하며, 이를
의 왼쪽 대역 차원(영어: left global dimension)이라고 한다.
![{\displaystyle \operatorname {gd_{L}} R=\operatorname {gd} R{\text{-Mod}}=\operatorname {gd} R{\text{-fgMod}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddabee73cc89b5055178425d3f1e86fc99535bb4)
마찬가지로, (유한 생성) 오른쪽 가군들의 아벨 범주의 차원을
의 오른쪽 대역 차원(영어: right global dimension이라고 한다.
![{\displaystyle \operatorname {gd_{R}} R=\operatorname {gd} {\text{Mod-}}R=\operatorname {gd} {\text{fgMod-}}R=\operatorname {gd_{L}} R^{\operatorname {op} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f8d2db65b9169988f79e08d3572c474ba5b7c08)
가환환의 경우 물론 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 일치한다. (비가환) (양쪽) 뇌터 환의 경우 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 서로 일치한다. 그러나 이는 일반적인 비가환환에 대하여 성립하지 않는다.
환
의 평탄 대역 차원(平坦大域次元, 영어: flat global dimension) 또는 약한 대역 차원(弱-大域次元, 영어: weak global dimension)
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {gd} {\mathcal {C}}=\sup _{M\in \operatorname {Mod} _{R},\,N\in {}_{R}\operatorname {Mod} }\{n\colon \operatorname {Tor} _{n}^{K}(M,N)\neq 0\}=\sup _{N\in {}_{R}\operatorname {Mod} }\operatorname {hd} (\otimes N)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbdbe2806416104d1077a99d322bd3071bc1651)
여기서
는 텐서곱 함자이다.
이 개념들 사이의 관계는 다음과 같다.
가군의 차원
|
사영 차원 |
단사 차원 |
평탄 차원
|
차원을 계산하는 가군 분해
|
사영 가군 분해 |
단사 가군 분해 |
평탄 가군 분해
|
대응하는 대역 차원
|
대역 차원 |
평탄 대역 차원
|
함자
|
![{\displaystyle \hom(M,-)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ec4bb96a9442f791f21c9afeebe712f1dc1e4e) |
![{\displaystyle \hom(-,M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39dff63066a3b46ed63ddb0875fbad3a9155fee5) |
|
유도 함자
|
Ext 함자 |
Tor 함자
|
대역 차원[편집]
가 (가환환이 아닐 수 있는) 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {gd_{L}} R=\operatorname {gd_{R}} R=\operatorname {fd} R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138a58e97cd3ef483586bc0c17a9aabd4d84a69e)
가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이
이라면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {gd} R=\operatorname {pd} R/{\mathfrak {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7696e91746cf1fc6ca854ff2e9997a90d83ec34e)
가환 뇌터 국소환
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
또한, 가환 뇌터 정칙 국소환의 경우 대역 차원은 크룰 차원과 같다.
오슬랜더-북스바움 공식[편집]
가 가환 뇌터 국소환이며, 그 극대 아이디얼이
이며,
이
위의 유한 생성 아이디얼이며, 그 사영 차원이 유한하다고 하자. 그렇다면, 사영 차원과 가군의 깊이 사이에는 다음이 성립한다 (오슬랜더-북스바움 공식 영어: Auslander–Buchsbaum formula).[2]:Theorem 3.7
![{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}M=\operatorname {depth} _{\mathfrak {m}}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bca919522b6b79456c3e5f1acc7cc7105f2fbe)
체
위의 가군은 벡터 공간
이며, 이 경우 모든 가군이 단사 가군이자 사영 가군이다. 따라서, 양의 차원의 모든 벡터 공간의 사영 차원 · 단사 차원 · 평탄 차원이 0이다.
![{\displaystyle \operatorname {pd} _{K}V=\operatorname {id} _{K}V=\operatorname {fd} _{K}V={\begin{cases}0&V\neq 0\\-\infty &V=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7651d9fb081b561e05cc62b238f7a7b8052f72)
따라서, 체의 대역 차원과 평탄 대역 차원은 항상 0이다.
![{\displaystyle \operatorname {gd} K=\operatorname {fgd} K=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8638196904da902c79f160ea40809ede4e13bbef)
체는 가환 뇌터 정칙 국소환이므로, 체의 크룰 차원 역시 0이다. (이는 체의 스펙트럼이 한원소 공간이므로 자명하게 알 수 있다.)
주 아이디얼 정역[편집]
가 주 아이디얼 정역이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 정리가 성립한다.
이에 따라, 주 아이디얼 정역 위의 가군
의 사영 차원과 평탄 차원은 다음과 같다.
|
사영 차원 ![{\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60d965eb01d05253098ab0d7d60db39775e5a02) |
평탄 차원
|
영가군
|
−∞ |
−∞
|
영가군이 아닌 자유 가군
|
0 |
0
|
자유 가군이 아닌 평탄 가군
|
1 |
0
|
평탄 가군이 아닌 가군
|
1 |
1
|
특히, 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 대역 차원은 1이다.
정수환
위의 가군은 아벨 군
이다. 정수환 위의 사영 가군 및 평탄 가군은 자유 아벨 군이며, 정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이다.
마찬가지로, 대역 차원이 1이므로, 주 아이디얼 정역 위의 모든 가군의 단사 차원은 다음과 같다.
|
단사 차원
|
영가군 |
−∞
|
영가군이 아닌 단사 가군 |
0
|
단사 가군이 아닌 가군 |
1
|
자명환[편집]
자명환
위의 모든 가군은 자명군이다. 따라서, 그 대역 차원과 평탄 대역 차원은
이다.
다항식환[편집]
힐베르트 삭망 정리(Hilbert朔望定理, 영어: Hilbert’s syzygy theorem)에 따르면,
가 뇌터 가환환이며, 그 대역 차원이 유한하다면,
이다.
뇌터 가환환 위의 다항식환은 물론 뇌터 가환환이므로, 이를 반복하면 다음을 얻는다.
![{\displaystyle \operatorname {gd} R[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]=\operatorname {gd} R+n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f70fc4216c1711431328f3467ef6823880824c)
특히, 체
위의 다항식환
의 대역 차원은
이다. 또한, 이 경우, 모든 가군은 길이
이하의 자유 가군으로 구성된 사영 분해를 갖는다.
힐베르트 삭망 정리는 체의 경우 다비트 힐베르트가 1890년에 증명하였다.[3]:492, Theorem Ⅲ
- Wiegand, Roger (2006년 4월). “What is … a syzygy?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어). 456–457쪽.
외부 링크[편집]