해석학에서 지배 수렴 정리(支配收斂定理, 영어: dominated convergence theorem, 약자 DCT)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.
확장 지배 수렴 정리[편집]
측도 공간
위의 가측 함수의 열
(
) 및 함수
에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수의 열
(
) 및 가측 함수
가 존재한다고 하자.
- 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
- (점별 수렴)
은
로 점별 수렴하며,
은
로 점별 수렴한다.
- (거의 어디서나 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 거의 어디서나 수렴하며,
은
로 거의 어디서나 수렴한다.
- (측도 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 측도 수렴하며,
은
로 측도 수렴한다.
- (적분 가능성)
![{\displaystyle \int _{X}|g|\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}|g_{n}|\mathrm {d} \mu <\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923087c4f33a1c2c917d0f88e2ff3f5130ac6347)
- (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든
에 대하여, 거의 어디서나 ![{\displaystyle |f_{n}|\leq g_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5433609b920f90448dbfdab3e42a12aafb341538)
그렇다면, 확장 지배 수렴 정리(擴張支配收斂定理, 영어: extended dominated convergence theorem, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[1]:57, §2.3, Theorem 2.3.11
- (적분 가능성)
![{\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2943748804aea674c71c6dd8b1f2946c417f7b)
- (L1 수렴)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5330afcc2f79c2eed4e735daf3e6ae7b74f7f32)
- (적분과 극한의 교환)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b7d4141efa57b2587d46c144a6a3fd28bf1ead)
사실, 이 경우 셰페 정리(영어: Scheffé's theorem)에 따라
역시
로 L1 수렴한다.
증명 (점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴):
가측 함수의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다.
적분 가능성: 가정에 따라
와
는 가측 함수이며, 파투 보조정리에 따라
![{\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|\mathrm {d} \mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|g_{n}|\mathrm {d} \mu =\int _{X}|g|\mathrm {d} \mu <\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af53da53a635ceeaa6fa413d00178ba5dc636625)
이다.
L1 수렴: 삼각 부등식에 의하여, 거의 어디서나
![{\displaystyle |f_{n}-f|\leq |f_{n}|+|f|\leq g_{n}+g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed3bafe0ddd29aa75e7a3755fde91a1c726d69d)
이므로,
는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 파투 보조정리를 적용하면
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{X}2g\mathrm {d} \mu &\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}(g_{n}+g-|f_{n}-f|)\mathrm {d} \mu \\&=\int _{X}2g\mathrm {d} \mu -\limsup _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c70b008869cdf48d56cb7253cf7f790b582b16cc)
를 얻는다.
적분과 극한의 교환: 삼각 부등식에 따라
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu -\int _{X}f\mathrm {d} \mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a7e3533547d0fdbaaa54f9689cf057670100d1)
이다.
지배 수렴 정리[편집]
측도 공간
위의 가측 함수의 열
(
) 및 함수
에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 가측 함수
가 존재한다고 하자.
- 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
- (점별 수렴)
은
로 점별 수렴한다.
- (거의 어디서나 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 거의 어디서나 수렴한다.
- (측도 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 측도 수렴한다.
- (적분 가능성)
![{\displaystyle \int _{X}|g|\mathrm {d} \mu <\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f05f80209ea2c2f7cb29f6748fb4169e5fdc177)
- (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든
에 대하여, 거의 어디서나 ![{\displaystyle |f_{n}|\leq g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90be4fbc1aab7ce11b5082e651d1b3c6d776d3e4)
그렇다면, 지배 수렴 정리에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[2]:26[1]:57, §2.3, Corollary 2.3.12
- (적분 가능성)
![{\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2943748804aea674c71c6dd8b1f2946c417f7b)
- (L1 수렴)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5330afcc2f79c2eed4e735daf3e6ae7b74f7f32)
- (적분과 극한의 교환)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b7d4141efa57b2587d46c144a6a3fd28bf1ead)
확장 지배 수렴 정리에서
를 취한다.
유계 수렴 정리[편집]
유한 측도 공간
(
) 위의 가측 함수의 열
(
) 및 함수
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
- 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
- (점별 수렴)
은
로 점별 수렴한다.
- (거의 어디서나 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 거의 어디서나 수렴한다.
- (측도 수렴)
는 가측 함수이며,
은
로 측도 수렴한다.
![{\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{\infty }<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc795fc9b41c8823755222ec60c21ad42b16a1b8)
그렇다면, 유계 수렴 정리(有界收斂定理, 영어: bounded convergence theorem, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[1]:57, §2.3, Corollary 2.3.13
- (적분 가능성)
![{\displaystyle \int _{X}|f|\mathrm {d} \mu <\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2943748804aea674c71c6dd8b1f2946c417f7b)
- (L1 수렴)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|\mathrm {d} \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5330afcc2f79c2eed4e735daf3e6ae7b74f7f32)
- (적분과 극한의 교환)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\mathrm {d} \mu =\int _{X}f\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b7d4141efa57b2587d46c144a6a3fd28bf1ead)
지배 수렴 정리에서
![{\displaystyle g\colon x\mapsto \sup _{n\in \mathbb {N} }\|f_{n}\|_{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a790d7d1441734ca914776e027c3ad9d0e4029)
를 취한다.
역사적으로, 앙리 르베그는 르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.[3]:313
구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.[3]:313
- 어떤 함수 f가 실수 상의 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라면,
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00d8d1ad2e2d87f12205376faf80081091148e7)
이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]