추상대수학에서 준동형(準同型, 영어: homomorphism) 또는 준동형 사상(準同型寫像)은 두 구조 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 함수이다. 이들은 범주의 사상을 이룬다.
같은 부호수
의 두 구조
,
사이의 준동형은 다음 조건을 만족시키는 함수
이다.
- (연산의 보존) 모든
항 연산
및
에 대하여,
![{\displaystyle \phi (f_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}))=f_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9af9866e9c83e80cbfb1d2db68b41bdd3d6f08)
- (관계의 보존) 모든
항 관계
및
에 대하여,
![{\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\implies r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97028caa787787cfde3ca5db0abc6dcc0978b31f)
같은 부호수
의 두 구조
,
사이의 강준동형(強準同型, 영어: strong homomorphism)은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형
이다.
- 모든
항 관계
및
에 대하여,
![{\displaystyle r_{A}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\iff r_{B}(\phi (a_{1}),\phi (a_{2}),\dots ,\phi (a_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cefbcbc4e43a05ceb45aa930c35a06188e9314)
대수 구조의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.
마그마와 군[편집]
마그마
는 하나의 이항 연산을 갖는 대수 구조이다. 마그마 준동형
은 모든
에 대하여
![{\displaystyle \phi (m\cdot n)=\phi (m)\cdot \phi (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e11e9ab722072babe38d8f504d287ab9a6388cc)
인 함수이다.
군
은 이항 연산
, 일항 연산
, 영항 연산
을 갖는 대수 구조이다. 군 준동형
는 모든
에 대하여
![{\displaystyle \phi (g\cdot g')=\phi (g)\cdot \phi (g')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9053bddb2fee9a58894fde04ca49f7b84dad9d7)
![{\displaystyle \phi (g^{-1})=\phi (g)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f75d8499e2ca7083681cbc942daa0c846b9f381)
![{\displaystyle \phi (1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57555c3ad71e8e6164d70b1713fe0b80e84113a1)
인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.
유사환과 환[편집]
유사환
은 이항 연산
및
, 일항 연산
, 영항 연산
을 갖는 대수 구조이다. 유사환 준동형
는 모든
에 대하여
![{\displaystyle \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fa7147d926ce1da6424e17aed1c950c82e5546)
![{\displaystyle \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bee966cdc103a68c034d349d99bea2cba9db55)
![{\displaystyle \phi (-r)=-\phi (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a01fe813e792e10b872b3cf873e9bab4c8538d)
![{\displaystyle \phi (-0)=-\phi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a84e3b0ad4dc6ae616dba1e0691d76d465bbf20)
인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.
(단위원을 갖는) 환
은 이항 연산
및
, 일항 연산
, 영항 연산
및
을 갖는 대수 구조이다. 환 준동형
는 모든
에 대하여
![{\displaystyle \phi (r\cdot r')=\phi (r)\cdot \phi (r')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fa7147d926ce1da6424e17aed1c950c82e5546)
![{\displaystyle \phi (r+r')=\phi (r)+\phi (r')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31bee966cdc103a68c034d349d99bea2cba9db55)
![{\displaystyle \phi (-r)=-\phi (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a01fe813e792e10b872b3cf873e9bab4c8538d)
![{\displaystyle \phi (-0)=-\phi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a84e3b0ad4dc6ae616dba1e0691d76d465bbf20)
![{\displaystyle \phi (1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57555c3ad71e8e6164d70b1713fe0b80e84113a1)
인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어,
,
은 유사환 준동형이지만 환 준동형이 아니다.
체는 (보편 대수학에서 다루는) 대수 구조가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 체의 확대이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.
벡터 공간[편집]
체
에 대한 벡터 공간
은 이항 연산
, 일항 연산
및 모든
에 대하여
, 영항 연산
을 갖는 대수 구조이다. 벡터 공간의 준동형은 선형 변환이라고 하며, 선형 변환
는 모든
에 대하여
![{\displaystyle \phi (v+v')=\phi (v)+\phi (v')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ea092121c88878044906f8679905d6018f0ef6)
![{\displaystyle \phi (-v)=-\phi (v')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6295bbbde48d021e6c078c58f28569edcce948c)
- 모든
에 대하여, ![{\displaystyle \phi (-s\cdot r)=-s\cdot \phi (r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5371177800d22fddb65141701c8d85867111d9c)
![{\displaystyle \phi (0)=\phi (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d0550a008e5890ed958cd79e1b6728f94aeb31)
인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.
격자
는 이항연산
및
를 갖는 대수 구조이다. 격자의 준동형
은 모든
에 대하여
![{\displaystyle \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca7f4c6d034627fba049452173fe88bdf59e6ce)
![{\displaystyle \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ed13e5dd6471710aac12392768a580ddc3f8e0)
인 함수이다. 격자는 표준적인 부분 순서 집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
유계 격자
는 이항 연산
및
, 영항 연산
및
을 갖는 대수 구조이다. 유계 격자의 준동형
은 모든
에 대하여
![{\displaystyle \phi (a\vee b)=\phi (a)\vee \phi (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca7f4c6d034627fba049452173fe88bdf59e6ce)
![{\displaystyle \phi (a\wedge b)=\phi (a)\wedge \phi (b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ed13e5dd6471710aac12392768a580ddc3f8e0)
![{\displaystyle \phi (\bot )=\bot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a954612faa3b027b724fc7f8ab388c760ed136)
![{\displaystyle \phi (\bot )=\top }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0b78904f09e31ac3814b792509ce5b1c673045)
인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
그래프[편집]
그래프의 언어
는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계
를 갖는 언어이다. 이 경우
는 "
이거나, 아니면
과
사이에 변이 존재한다"로 해석한다.
이 언어의 구조는 그래프이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.
전순서[편집]
전순서 집합의 언어
는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 이항 관계
를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 전순서 집합이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.
참고 문헌[편집]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]