정수론에서 약수 함수(約數函數, 영어: divisor function)는 주어진 수의 양의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.
자연수
과 복소수
에 대하여, 약수 함수
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \sigma _{a}(n)=\sum _{d\mid n}d^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d224a65d0cc2ad155d8ce474592f102320d7a99)
여기서
은
의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과
자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.
은
로도 나타내며,
의 약수의 개수에 해당한다.
![{\displaystyle \sigma _{0}(n)=\#\{d\in \mathbb {Z} ^{+}\colon d\mid m\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0950fd29b161dbe21c2b7f309f1a7f0db0758de5)
은 시그마 함수
라고 하며
의 모든 양의 약수의 합을 나타낸다.
![{\displaystyle \sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6461edd87b3dd4d279847acb9a464c4e836c2184)
=
-
으로 표시하며, 이 값은
에서 자기 자신을 제외한 양의 약수의 합에 해당한다.
=
이 되는 수를 완전수라 한다.
p가 소수일 때에만
![{\displaystyle \sigma _{1}(p)=p+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbb3b81da6471b4e79ba5ffa5467cf924c6b56b)
이 성립한다. 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.
약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.
만약
로 소인수 분해된다면,
,
![{\displaystyle \sigma (n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82791370a21ed1fcc0bcf644bab9ccb56f7878a9)
이 된다. 일반적으로 a>0인 경우,
![{\displaystyle \sigma _{a}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(\alpha _{i}+1)a}-1}{p_{i}^{a}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48daa5e969571a2e25f84a4e874b0335e9b2d8fb)
이 성립한다.
그리고 오일러-마스케로니 상수 값을 γ로 적을 때,
![{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ln \ln n}}=e^{\gamma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a37c60b91a43481803cdad4ee22d5689a4c63d4)
가 된다.
약수 함수열[편집]
함수 |
OEIS 번호 |
σk(n) (n=1, 2, 3, …)
|
σ0 |
A000005 |
1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, …
|
σ1 |
A000203 |
1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, …
|
σ2 |
A001157 |
1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, …
|
σ3 |
A001158 |
1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, …
|
σ4 |
A001159 |
1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, …
|
σ5 |
A001160 |
1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, …
|
σ6 |
A013954 |
1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, …
|
σ7 |
A013955 |
1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, …
|
⋮ |
⋮ |
|
σ24 |
A013972 |
1, 16777217, 282429536482, 281474993487873, …
|
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]