선형대수학에서 단위 행렬(영어: unit matrix) 또는 항등 행렬(영어: identity matrix)은 주대각선의 원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 정사각 행렬이다.[1]:100
체
위의
단위 행렬
는 다음과 같이 정의된다.
![{\displaystyle (1_{n\times n})_{ij}=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4658620f8b1179b2eafbcf00bb748ea0bebaeda)
여기서
는 크로네커 델타이다. 이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle 1_{n\times n}=\operatorname {diag} (\underbrace {1,1,1,\dots ,1} _{n})={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}_{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a8628d57a62e074e3439c5250a340815ab53aa)
작은 크기의 단위 행렬들은 다음과 같다.
![{\displaystyle 1_{1\times 1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa39d64872faa5c81892d545f1b194f41c841395)
![{\displaystyle 1_{2\times 2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1abba1033f4f9ce1c1150c6c16ed84ea3209d5d)
![{\displaystyle 1_{3\times 3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3395d9a280403816886e13cf2b01944aa53f28bb)
임의의 체
위의
행렬
에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
![{\displaystyle 1_{m\times m}A=A1_{n\times n}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92686fdd953d1620ea53d9cdc92fa97af214a904)
특히, 체
위의
단위 행렬은 체
위의
정사각 행렬의 곱셈 모노이드
의 항등원이다.
체
위의
단위 행렬
의 고윳값은 1이며, 그 대수적 중복도와 기하적 중복도는 모두
이다. 즉,
위의
차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환이
을 행렬로 한다면, 이는 기저와 상관 없이 항등 함수이다.
모든 실수 양의 정부호 이차 형식은 단위 행렬을 행렬로 하는 이차 형식(즉, 제곱 합 이차 형식)과 동치이다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]