파피안

선형대수학에서 파피안(영어: Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.

정의

가환환 $K$가 주어졌으며, $K$ 계수의 $2n\times 2n$ 실수 반대칭 정사각 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (2n,2n;K)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $A$의 파피안 $\operatorname {pf} (A)$는 다음과 같다.

$\operatorname {pf} A={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2n)}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\in K$

여기서

• $\operatorname {Sym} (2n)$은 $\{1,2,\dotsc ,2n\}$의 순열들의 집합이다.
• $\operatorname {sgn} (\sigma )\in \{\pm 1\}$는 순열의 부호수이다.

위 공식을 따르면, $K$에서 $n!$의 역수가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이 $2^{n}n!$번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로, $\{1,2,\dotsc ,2n\}$의 분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을 $\pi (2n)$이라고 하자. 그 크기는

$|\pi (2n)|={\frac {(2n)!}{2^{n}n!}}$

이다. $\pi (2n)$의 원소는 표준적으로

$a=\{\{a(1),a(2)\},\{a(3),a(4)\},\dotsc ,\{a(2n-1),a(2n)\}\}$

$\forall k\colon a(2k)<a(2k+1)$

$a(1)<a(3)<a(5)<\dotsb <a(2k-1)$

의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열

$\{1,\dotsc ,2n\}\to \{1,\dotsc ,2n\}$

$k\mapsto a(k)$

로 간주했을 때, 이는 포함 사상 $\pi (2n)\hookrightarrow \operatorname {Sym} (2n)$을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다.

$\operatorname {pf} A=\sum _{a\in \pi (2n)}\operatorname {sgn} (a)A_{a(1),a(2)}A_{a(3),a(4)}\dotsm A_{a(2n-1),a(2n)}\in K$

고윳값을 통한 정의

실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값으로 간단히 표현된다. $2n\times 2n$ 실수 반대칭 정사각 행렬 $A\in \operatorname {Mat} (2n,2n;\mathbb {R} )$의 고윳값이 $\pm i\lambda _{1},\dots ,\pm i\lambda _{n}$이라고 하자. 그렇다면 $A$의 파피안 $\operatorname {pf} (A)$는 $\lambda _{i}$들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\operatorname {pf} A=\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$

성질

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

$\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc$.

짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은 $\pm i\lambda _{1},\dots ,\pm i\lambda _{n}$의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\det A=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\cdots \lambda _{n}^{2}=\left(\operatorname {pf} A\right)^{2}$

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 $A$는 다음과 같이 2차 미분 형식 $\omega$로 나타낼 수 있다.

$\omega ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{2n}A_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}$.

그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

$\omega ^{n}/n!=\operatorname {pf} (A)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{2n}$

역사

파피안의 개념은 아서 케일리가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며, 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다.

“	파프의 미분 방정식에 대한 연구와 연관이 있으므로, 이런 유의 순열식(順列式)은 “파피안”이라고 부르도록 하겠다. […] the permutants of this class (from their connexion with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term “Pfaffians.”	”
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외부 링크

• “Pfaffian”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Pfaffian”. 《nLab》 (영어).