리 군론에서 3차원 특수 유니터리 군 SU(3)는 행렬식이 1인 3×3 유니터리 행렬들의 리 군이다.[1][2]
단순 리 군의 분류에서,
형의 딘킨 도표는 콤팩트 리 군
또는
에 대응한다.
이는 다음과 같은 실수 형식을 갖는다.
기호 |
설명 |
기본군 |
중심 |
극대 콤팩트 부분군 |
사타케 도표 |
보건 도표
|
SU(3) |
단일 연결 콤팩트 형식 |
0 |
Cyc(3) |
SU(3)
|
|
|
PSU(3) |
무중심 콤팩트 형식 |
Cyc(3) |
0 |
PSU(3)
|
SL(3;ℝ) |
분할 형식 |
0 |
Cyc(2) |
SO(3;ℝ)
|
|
|
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {SL}} (3;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368acdf47a2babaa5599ade8873ad577b3720d48) |
분할 형식 |
Cyc(2) |
0 |
Spin(3)
|
SU(1,2) |
|
Cyc(∞) |
Cyc(3) |
U(2)
|
|
|
PSU(1,2) |
|
Cyc(∞)⊕Cyc(3) |
0 |
PU(2)
|
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {SU}} (1,2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbceb523732029e069ed5a690469e823e179f63b) |
|
0 |
Cyc(∞)⊕Cyc(3) |
|
위상수학적 성질[편집]
는 8차원 연결 단일 연결 콤팩트 매끄러운 다양체이다.
표현론[편집]
SU(3)은 정의 표현
및 그 복소수 켤레
및 딸림표현
을 갖는다. 이들 사이의 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathbf {3} \otimes {\bar {\mathbf {3} }}=\mathbf {8} \oplus \mathbf {1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a05de73a197b7abde357accb0f4425b66661ae12)
![{\displaystyle \mathbf {3} \otimes \mathbf {3} =\mathbf {6} \oplus {\bar {\mathbf {3} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6f7ce127f4c43545eed7e4d22edc03f513a69e)
여기서
는 복소수 대칭 행렬에 해당한다.
SU(3)의 모든 표현은 두 자연수
로 유일하게 결정되며, 이는
속의 최고 무게 표현이다.
차 표현의 차원은
![{\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}(p+1)(q+1)(p+q+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6715c64251b3113b5a3ed3a18d0ba79aa0287f9d)
이다.
개의 길이 1의 열과
개의 길이 2의 열로 구성된 영 타블로에 대응된다. 이 가운데
인 표현은 실수 표현이며, 아닌 경우는 복소수 표현이다. 복소수 표현의 켤레 표현은
와
를 맞바꾸는 것에 해당한다.
낮은 차원의 표현은 다음과 같다.
기호 |
(p,q) |
설명 |
영 타블로
|
1 |
(0,0) |
자명한 표현 |
|
3 |
(1,0) |
정의(定義) 표현
|
□
|
3 |
(0,1) |
반정의(反定義) 표현
|
□ □
|
6 |
(2,0) |
|
□□
|
6 |
(0,2) |
|
□□ □□
|
8 |
(1,1) |
딸림표현
|
□□ □
|
10 |
(3,0) |
|
□□□
|
10 |
(0,3) |
|
□□□ □□□
|
15 |
(2,1) |
|
□□□ □
|
15 |
(1,2) |
|
□□□ □□
|
15′ |
(4,0) |
|
□□□□
|
15′ |
(0,4) |
|
□□□□ □□□□
|
21 |
(5,0) |
|
□□□□□
|
21 |
(0,5) |
|
□□□□□ □□□□□
|
24 |
(3,1) |
|
□□□□ □
|
24 |
(1,3) |
|
□□□□ □□□
|
27 |
(2,2) |
|
□□ □□
|
리 대수의 기저[편집]
겔만 행렬(Gell-Mann行列, 영어: Gell-Mann matrices)은 특수 유니터리 리 대수
의 기본 표현의 표준 기저를 이루는, 8개의 3×3 에르미트 행렬이다. (이는 파울리 행렬이
의 표준적인 생성원인 것과 같다.) 이들은 다음과 같다.
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이들은
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6a690b1269a97d4a45d781f943a3d5e19aa8a7)
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}1_{3\times 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4766d4a80a2afd159fbefd67417c9b9af5bffd17)
를 만족시키며, 이 경우, 구조 상수
![{\displaystyle [{\tfrac {1}{2}}\lambda _{i},{\tfrac {1}{2}}\lambda _{j}]={\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} f_{ijk}\lambda _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6d60c0df5458e784d1f991407a48ac17a54b50)
는 다음과 같다.
![{\displaystyle f_{123}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d7b91033424c6c60525f2c7c4ddb694122df12)
![{\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7cb4d3fa091af78fadd4e1ed1512b514517118)
![{\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffdde553414aeca03dbab8f9a814b50fba4d3ad)
나머지 구조 상수들은 0이다. (즉,
개의 구조 상수 가운데 9개만이 0이 아니다.) 특히, 구조 상수가 0이 아닐 필요 조건은 3개의 지표가 {2,5,7}의 원소를 홀수 개 (즉, 1개 또는 3개) 포함해야 한다는 것이다.
겔만 행렬은 쿼크 모형을 개발하기 위하여 머리 겔만이 도입하였다.[3]
SU(3)은 3개의 맛깔의 쿼크(u, d, s)에 대한 맛깔 대칭의 리 군으로서 이론물리학에 등장하며, 강입자들은 그 유한 차원 표현을 이룬다.
외부 링크[편집]