대수학에서 형식적 멱급수(중국어: 形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.
환
에 대한 형식적 멱급수환
는 집합으로서
이다. 형식적 멱급수환에서, 원소
![{\displaystyle (r_{0},r_{1},r_{2},\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5cf8b02b32542a2786a8e98c1879532bb208ce2)
는 통상적으로
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}=r_{0}+r_{1}x+r_{2}x^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01936c12da34bd950b74178732b40754908dae70)
으로 쓴다.
위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우
-가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다.
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}r_{k}s_{n-k}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1332347fb530f7529675c934a90bd1631e30730)
이에 따라
는 결합
-대수를 이룬다.
형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다.
은
을 뜻한다.
형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은
-선형 연산
![{\displaystyle D\colon R[[x]]\to R[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341341246cd9964efa4eabc31937dba8df89bca4)
![{\displaystyle D\colon \sum _{n=0}^{\infty }r_{n}x^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }nr_{n}x^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafa48201a25fe9e2d77ee951d5be60a65fba079)
이 존재하며, 이를 미분이라고 한다.
임의의
가 주어졌고,
이라고 하자 (즉,
). 그렇다면
와
의 합성
은 다음과 같다.
![{\displaystyle a\circ b=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j\in (\mathbb {Z} ^{+})^{k}}^{j_{1}+\cdots +j_{k}=n}a_{k}b_{j_{1}}b_{j_{2}}\cdots b_{j_{k}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcad395e94657121e87db9caea680da60f2a242b)
만약
가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.
환
에 대하여,
- 만약
가 가환환이라면,
역시 가환환이다.
- 만약
가 가환 뇌터 환이라면,
역시 가환 뇌터 환이다.
- 만약
가 정역이라면,
역시 정역이다.
- 만약
가 체라면,
는 이산 값매김환이다.
형식적 멱급수환의 원소
![{\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1182f42f3afd90767774d733e2699e5fd69f9555)
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 가역원이다.
는 가역원이다.
구체적으로,
의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.
![{\displaystyle (a^{-1})_{0}=a_{0}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19b1d2b41f2eb37b9cfb1bd6e73d3f25898faa78)
![{\displaystyle (a^{-1})_{n}=-a_{0}^{-1}\sum _{i=1}^{n}a_{i}(a^{-1})_{n-i}=-\sum _{i=1}^{n}(a^{-1})_{n-i}a_{i}a_{0}^{-1}\qquad (n\geq 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28bee8f1954b55e2f4366803a1be61cbb507ae31)
거리 공간 구조[편집]
형식적 멱급수환
위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle d(a,b)=2^{-\min\{n\in \mathbb {N} \colon a_{n}\neq b_{n}\}}\qquad (a\neq b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9192da7ffcb922379dd0f959cdecd67ce17796)
형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.[1]:132, §III.7, Exercise 5 이는 다항식환
의 완비화이다.[1]:132, §III.7, Exercise 6
이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수
![{\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\in R[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1182f42f3afd90767774d733e2699e5fd69f9555)
는 부분합의 점렬
![{\displaystyle (a_{0},a_{0}+a_{1}x,a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425822b73f2d4e331f2cd02767894e2bdd0b5110)
의 극한이다.
형식적 로랑 급수[편집]
체
에 대하여, 형식적 로랑 급수체
은 형식적 멱급수환의 분수체이다.
![{\displaystyle K((x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=\operatorname {Frac} (K[[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]])=\operatorname {Frac} (K[[x_{1}]][[x_{2}]]\cdots [[x_{n}]])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1c6a850c38e2b2843af92bbe5e9e871c2f1617)
정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로,
는
![{\displaystyle p=\sum _{i=m}^{\infty }p_{i}x^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b16b57e07e26872a064d28e28f30fbac75760ccf)
의 꼴로 전개할 수 있다 (
). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다.
다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는
![{\displaystyle K[x][y]\cong K[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ac3564f92bbe1444095f5dc4641c716900f65e)
![{\displaystyle K(x)(y)\cong K(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2544dcf95e6c00fbb43532ee967ca6d350465514)
![{\displaystyle K[[x]][[y]]\cong K[[x,y]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af86fabe17effb50c40a5d94abeef2b56842ba9f)
가 성립하지만,
와
는 서로 다른 체이다. 일반적으로,
는
의 부분환이며, 단사 준동형
![{\displaystyle K((x,y)){\stackrel {\iota _{x}}{\hookrightarrow }}K(x)((y))\hookrightarrow K((x))((y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea50d03ad11dce8c237ea03c246b4af691bf30c)
![{\displaystyle K((x,y)){\stackrel {\iota _{y}}{\hookrightarrow }}K(y)((x))\hookrightarrow K((y))((x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc1b6708b79a195eac0f06789f69a7af5940d4e)
이 존재한다. 예를 들어,
![{\displaystyle \iota _{x}\colon {\frac {1}{x-y}}\mapsto x^{-1}+x^{-2}y+x^{-3}y^{2}+\cdots \in K(x)((y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f64f68bdc61b425d83d3331d297b1ad7710911)
![{\displaystyle \iota _{y}\colon {\frac {1}{x-y}}\mapsto -y^{-1}-y^{-2}x-y^{-3}x^{2}-\cdots \in K(y)((x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5cdb917070be84750600eab39387d82293f41b)
이다.
그러나
및
는 동형 사상이 아니다. 예를 들어,
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{-n^{2}}y^{n}\in K(x)((y))\setminus \iota _{x}(K((x,y)))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bfaed6f0c741290b41b5491b11ac845c63a895)
이다.[2]
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]