보편 대수학에서 합동 관계(合同關係, 영어: congruence relation)는 대수 구조의 몫 대수를 정의하는 동치 관계이다.
대수 구조
는 집합
와,
위의
![{\displaystyle S\times S\times \cdots \times S\to S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9829c03a6886ea888fadff304d7b91a921772532)
꼴의 함수들의 집합
의 순서쌍이다. 대수 구조
위의 합동 관계(영어: congruence relation)
는 다음 조건을 만족시키는,
위의 동치 관계이다.
- 모든
,
및
에 대하여, 만약 모든
에 대하여
라면
이다.
대수 구조
위의 합동 관계들의, 함의에 따른 부분 순서 집합은
로 표기한다. 이는
의 동치 관계 격자
의 부분 격자를 이루며, 또한 이는 완비 격자이자 대수적 격자이다.[1]:37, Theorem 5.5
합동 관계의 동치 관계 조건을 반사 대칭 관계로 약화하면, 허용 관계의 개념을 얻는다.
군
는 이항 연산
, 일항 연산
, 영항 연산
이 정의되어 있는 대수 구조이다. 이 경우, 군
의 합동 관계는
의 정규 부분군과 일대일 대응한다. 합동 관계
에 대응하는 정규 부분군은
![{\displaystyle N=\{g\in G|g\sim 1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f6f8bbececefea1bcdbe64666e1f6e0520709e6)
이며, 반대로 정규 부분군
에 대응하는 합동 관계는
![{\displaystyle g\sim h\iff gh^{-1}\in N\iff h^{-1}g\in N\iff g^{-1}h\in N\iff hg^{-1}\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163aaff3ebf61ebcd6cf4b4e022cf4ae27e26025)
이다.
유사환
은 이항 연산
와
, 일항 연산
, 영항 연산
이 정의된 대수 구조이다. 이 경우,
의 합동 관계는
의 아이디얼과 일대일 대응한다. 합동 관계
에 대응하는 아이디얼은
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}=\{r\in R|r\sim 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62702da1d6343ac09a3b4de9473d550285378bbf)
이며, 반대로 아이디얼
에 대응하는 합동 관계는
![{\displaystyle r\sim s\iff r-s\in {\mathfrak {a}}\iff s-r\in {\mathfrak {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f878eb9abf452b37c252de30b63c7e8e2c07be97)
이다.
정수환
에서, 주 아이디얼
에 대응되는 합동 관계는 정수의 합동
이다.
군과 유사환과 같은 경우는 합동 관계가 부분 대수로 주어지지만, 일반적으로는 이는 그렇지 않다. 예를 들어, 모노이드
의 경우 합동 관계는 부분 모노이드로 정의되지 않는다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]