하디 공간

함수해석학에서 하디 공간(Hardy空間, 영어: Hardy space)은 하디 노름(영어: Hardy norm)이라는 어떤 특별한 노름이 유한한, 단위 원판 위의 정칙 함수들로 구성된 위상 벡터 공간이다.

정의

양의 확장된 실수 $p\in (0,\infty ]$가 주어졌다고 하자. 열린 단위 원판

$Z=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}$

위의 정칙 함수 $f\colon Z\to \mathbb {C}$에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$\|f\|_{\operatorname {H} ^{p}}=\sup _{0\leq r<1}{\sqrt[{p}]{{\frac {1}{2\pi }}\oint |f(r\exp(\mathrm {i} \theta ))|^{p}\,\mathrm {d} \theta }}\in [0,\infty ]$

$\|f\|_{\operatorname {H} ^{\infty }}=\sup _{z\in Z}|f(z)|\in [0,\infty ]$

이 값이 유한한 정칙 함수들의 공간을 하디 공간이라고 하며, $\operatorname {H} ^{p}$로 표기한다.

성질

만약 $1\leq p\leq \infty$이라면, $\|-\|_{\operatorname {H} ^{p}}$는 노름이며, $\operatorname {H} ^{p}$는 복소수 바나흐 공간이다.

만약 $0<p<1$이라면, $\|-\|_{\operatorname {H} ^{p}}$는 노름이 아니며, $\operatorname {H} ^{p}$는 복소수 바나흐 공간이 아닌 위상 벡터 공간이다.

르베그 공간과의 관계

임의의 $p\in (0,\infty ]$ 및 $f\in \operatorname {H} ^{p}$에 대하여,

$\iota (f)(\theta )=\lim _{r\to 1}f(r\exp(\mathrm {i} \theta ))$

는 거의 모든 $\theta$에 대하여 존재한다. 따라서, 이는 단사 포함 사상

$\iota \colon \operatorname {H} ^{p}\to \operatorname {L} ^{p}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )$

을 정의한다. 여기서 $\operatorname {L} ^{p}(\mathbb {S} ^{1};\mathbb {C} )$는 원 위의 복소수 값 르베그 공간이다.

역사

리스 프리제시가 1923년에 도입하였으며, 고드프리 해럴드 하디의 이름을 따 명명하였다.

외부 링크

• “Hardy classes”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hardy space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hardy norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.