일반화 고유벡터
선형대수학에서, 일반화 고유벡터(영어: generalized eigenvector)는 비대칭 행렬의 대수적 중복도가 기하적 중복도와 일치하지 않을 때, 모자라는 고유벡터들을 대신하는 벡터들이다.
정의[편집]
복소 정사각행렬 의 고윳값 의 대수적 중복도가 라고 하자. 그렇다면, 고윳값 의 일반화 고유벡터 는 다음 성질을 만족시키는 벡터이다.
모든 고유벡터는 일반화 고유벡터이지만, 만약 고윳값의 대수적 중복도가 기하적 중복도를 초과하면, 고유벡터가 아닌 일반화 고유벡터가 존재한다.
예[편집]
다음과 같은 행렬을 생각하자.
의 고윳값은 1밖에 없으며, 그 기하적 중복도는 1이지만 대수적 중복도는 2이다. 이 경우, 의 고유벡터는
하나밖에 없다. 이 경우,
이므로, 모든 벡터가 의 일반화 고유벡터가 된다. 즉, 는 총 2개의 (선형독립) 일반화 고유벡터를 가지며, 그 가운데 하나는 고유벡터를 이룬다.
외부 링크[편집]
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Generalized eigenvector”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Root vector”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.