일반위상수학과 범주론에서, 위상 함자를 통해 주어진 집합 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 완비 격자를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 섬세한 구조(纖細-構造, 영어: finer structure) 또는 더 엉성한 구조(-構造, 영어: coarser structure)라고 한다.
두 범주
,
사이의 함자
가 주어졌다고 하자. 임의의 대상
에 대하여, 다음과 같은 범주
를 생각할 수 있다.
의 대상은
인 대상
이다.
의 사상은
인 사상
이다.
만약
가 충실한 함자라면,
는 얇은 범주이며, 이는
위에 존재할 수 있는
-구조들의 범주로 생각할 수 있다.
는 얇은 범주이므로, 그 위에 다음과 같은 원순서가 존재한다.
![{\displaystyle X\lesssim X'\iff \exists f\in \hom _{\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})}(X,X')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf125eb66b9ce5c3da7076f93c62a7e0fc36e694)
이 관계를 엉성함이라고 한다.[1]:30, Definition 1.1.4 즉, 만약
속에서 사상
가 존재한다면,
이
보다 더 엉성한(영어: coarser)
-구조이며, 반대로
는
보다 더 섬세한(영어: finer)
-구조이다.
이 정의는 특히 위상 함자
에 대하여 적용된다.
에서 만약 최대 원소(즉, 가장 엉성한
-구조)가 존재한다면, 이를
위의 비이산
-구조(영어: indiscrete
-structure)라고 한다. 반대로,
에서 만약 최소 원소(즉, 가장 섬세한
-구조)가 존재한다면, 이를
위의 이산
-구조(영어: discrete
-structure)라고 한다.
가 위상 함자라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. 위상 함자에서는 또한 시작 구조와 끝 구조가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여,
는 완비 원격자를 이룬다.
위상 공간[편집]
위상 공간과 연속 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자
![{\displaystyle U\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e221bf1f1f8a90355d3198876ac12c4b38f3b54)
는 위상 함자이며 따라서 충실한 함자이다. 따라서 이 경우 더 엉성한 위상과 더 섬세한 위상의 개념을 정의할 수 있다.
집합
위의 두 위상 (열린집합의 족)
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:77–78
이
보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수
이 연속 함수이다.
이다. 즉, 항등 함수
가 열린 함수이다.
주어진 집합 위의 위상들은 완비 격자를 이룬다.
흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"(영어: weaker/stronger topology)이라는 용어를 사용하며, 반대로 해석학에서는 "강한/약한 위상"(영어: stronger/weaker topology)이라는 용어를 사용한다.
보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주
를 생각하자.
의 원소
는 집합
와 그 위의 기저
의 순서쌍이다.
의 사상
는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
![{\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {B}}_{Y}\forall x\in f^{-1}(\epsilon )\exists \delta \in {\mathcal {B}}_{Y}\colon \left(x\in \delta \subseteq f^{-1}(\epsilon )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664764030874d3ed24174d53dc228e927b4a7910)
그렇다면
은
의 충만한 부분 범주를 이룬다.
그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 기저를 정의할 수 있다. 집합
위의 두 기저
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
이
보다 더 엉성하다.
- 임의의
및
에 대하여,
인
가 존재한다.
에 의해 생성되는 위상
은
에 의해 생성되는 위상
보다 더 엉성하다.
주어진 집합 위의 기저들은 완비 원격자를 이룬다.
부분 기저[편집]
보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주
를 생각하자.
의 원소
는 집합
와 그 위의 임의의 집합족
의 순서쌍이다. (이는
의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.)
의 사상
는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
![{\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {B}}_{Y}\forall x\in f^{-1}(\epsilon )\exists n\in \mathbb {N} ,\;\delta _{1},\dots ,\delta _{n}\in {\mathcal {B}}_{Y}\colon \left(x\in \delta _{1}\cap \delta _{2}\cap \cdots \cap \delta _{n}\subseteq f^{-1}(\epsilon )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebbcded65b1a5f6c6636ab5f2ab3c7fdf139a691)
그렇다면
는
의 충만한 부분 범주를 이룬다.
그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합
위의 두 부분 기저
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
이
보다 더 엉성하다.
- 임의의
및
에 대하여,
인 자연수
및
가 존재한다.
에 의해 생성되는 위상
은
에 의해 생성되는 위상
보다 더 엉성하다.
주어진 집합 위의 부분 기저들은 완비 원격자를 이룬다.
덮개와 유계형 집합[편집]
다음과 같은 구체적 범주
를 생각하자.
의 대상
은 집합
와 그 위의 덮개
의 순서쌍이다.
의 사상
은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
![{\displaystyle \forall C_{X}\in {\mathcal {C}}_{X}\exists C_{Y}\in {\mathcal {C}}_{Y}\colon f(C_{X})\subseteq {\mathcal {C}}_{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34e17b984ab9d95b2e7a59ce49a3d3a8ba713398)
이렇게 정의하였을 때, 같은 집합
위의 두 덮개
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이
보다 더 엉성하다.
은
의 세분이다.
유계형 집합의 범주
은
의 충만한 부분 범주를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다.
다음과 같은 범주
를 생각하자.
의 대상
는 집합
와
위의 필터 기저
이다.
의 사상
은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
![{\displaystyle \forall F_{Y}\in {\mathcal {F}}_{Y}\colon \exists F_{X}\in {\mathcal {F}}_{X}\colon f^{-1}(F_{Y})\supseteq F_{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c8d5bb243073988f4ac3f281c52cbb5b9aa71d3)
그렇다면, 집합
위의 두 필터 기저
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이
보다 더 엉성하다.
이다. 여기서
는 필터 기저로 생성되는 필터(즉, 상폐포)를 뜻한다.
가측 공간[편집]
가측 공간과 가측 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자
![{\displaystyle U\colon \operatorname {Measble} \to \operatorname {Set} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49841b78a39ac635c6ff589e151f788a76ef64a4)
는 위상 함자이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 가측 공간 구조를 정의할 수 있다.
외부 링크[편집]