우산 정리

우산 정리는 다음 세 그림에서 $AB*AC=AD*AE$가 성립한다는 정리이다.

AD는 각 A의 이등분선이다.	AB=AC이다.	O는 원의 중심이며, AD와 BC는 수직이다.

증명

1번째 그림의 증명 AD가 각 A의 이등분선이며 원주각이 같으므로 $\angle {BAE}=\angle {DAC},\angle {BEA}=\angle {DCA}$ $\triangle {ABE}\sim \triangle {ADC}(AA)$ 그러므로 길이비를 생각하면, ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AE}{AC}}$ 이므로 $AB*AC=AD*AE$이다.	2번째 그림의 증명 삼각형 BAC가 이등변삼각형이 될 것이며, 원주각이 같게 되기 때문에 $\angle {BEA}=\angle {BCA}=\angle {ABC}$ $\triangle {ABE}\sim \triangle {ADB}(AA)$ 그러므로 길이비를 생각하면, ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AE}{AB}}$ 그리고 AB=AC이므로, $AB*AC=AD*AE$이다.	3번째 그림의 증명 AE가 지름이고 AD와 BC가 수직이며 원주각이 같다. 따라서, $\angle {ABE}=90^{\circ }=\angle {ADC},\angle {BEA}=\angle {DCA}$ $\triangle {ABE}\sim \triangle {ADC}(AA)$ 따라서 길이비를 생각하면, ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AE}{AC}}$ 이므로 $AB*AC=AD*AE$이다.