미분기하학에서 수직 벡터 다발(垂直vector-, 영어: vertical vector bundle)은 올다발의 접다발 속의 특별한 부분 벡터 다발이다. 대략, 밑공간의 접다발을 "수평" 방향으로 간주하였을 때, 수직 벡터 다발은 순수하게 올 방향의, 즉 "수직" 방향의 벡터들로 구성된다.
반면, 올다발의 접다발 속의 "수평 벡터 다발"은 일반적으로 추가 구조 없이 정의되지 않는다. 이를 정의하기 위한 추가 구조는 에레스만 접속이라고 한다.
매끄러운 다양체
위의 매끄러운 올다발
![{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244675db0ae668ca69691759527ac9bba1d3c354)
이 주어졌다고 하고,
및
의 각 올이 매끄러운 다양체를 이룬다고 하자. 사영 사상의 미분
![{\displaystyle \mathrm {T} \pi \colon \mathrm {T} E\twoheadrightarrow \mathrm {T} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be099e2e5245b3127d07587ad4754f4587b24f9)
을 정의할 수 있다. 그렇다면,
위에 다음과 같은 수직 벡터 다발
를 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \mathrm {V} E=\ker(\mathrm {T} \pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2631b5579e49265f6748dfea70fa608e899257ab)
즉,
![{\displaystyle \mathrm {V} _{e}E=\mathrm {T} _{e}(E_{\pi (e)})\qquad \forall e\in E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef39de5cdd0f158054313ad17073556310bcad7d)
![{\displaystyle \forall u\in T_{\mathrm {e} }E\colon \left(u\in \mathrm {V} _{e}E\iff \forall (\gamma \colon \mathbb {R} \to E,\;\gamma (0)=e)\colon {\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}(0)=u\implies {\frac {\mathrm {d} (\pi \circ \gamma )}{\mathrm {d} t}}(0)=0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a81e31af0f89f3a4c8733261e8e8718aaa5c70)
즉, 벡터 다발
의
에서의 올은
의 올의 접공간이다.
위의 벡터장
에 대하여, 만약
라면 (즉, 만약 모든
에 대하여
라면)
를 수직 벡터장(垂直vector場, 영어: vertical vector field)이라고 한다. 마찬가지로,
위의
차 미분 형식
에 대하여, 만약
![{\displaystyle \alpha (X_{1},X_{2},\dots ,X_{p})=0\qquad \forall X_{1},\dots ,X_{p}\in \Gamma (\mathrm {V} E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0541076ccb0a25e4c2881df5057b9bfbbaa9ec)
라면,
를 수평 미분 형식(水平微分形式, 영어: horizontal differential form)이라고 한다.
수직 벡터 다발의 정의에 따라, 짧은 완전열
![{\displaystyle 0\to \mathrm {V} E\hookrightarrow \mathrm {T} E\;{\overset {\pi ^{*}\mathrm {T} \pi }{\twoheadrightarrow }}\;\pi ^{*}\mathrm {T} M\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa3e8121b7a644aeda1456440c4439ad8c66fe2)
이 존재한다. 이를 아티야 완전열(Atiyah完全列, 영어: Atiyah exact sequence)이라고 한다. (여기서
이다.) 이는 (벡터 다발의 범주이므로) 물론 분할 완전열이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다.
위의 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.
자명한 올다발[편집]
두 매끄러운 다양체
과
가 주어졌고,
를
위의 올다발로 여기자.
![{\displaystyle F{\xleftarrow {\operatorname {proj} _{2}}}E{\xrightarrow {\operatorname {proj} _{1}}}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab07ae55378cd07b219b926b55dde6b9b0587cf)
이 경우, 자연스럽게
![{\displaystyle \mathrm {T} _{(m,f)}E=\mathrm {T} _{m}M\oplus \mathrm {T} _{f}F\qquad (\forall m\in M,\;,f\in F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2eba860efb786251336d32a2d6fe2ec3f4a1d3f)
이며, 수직 벡터 다발
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \mathrm {V} E=\operatorname {proj} _{2}^{*}\mathrm {T} F\subseteq \mathrm {T} E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7281e2bc1fac8f6b66bb3e6a86e627588337403d)
(이 경우, 자연스럽게 "수평 벡터 다발"
역시 존재한다. 그러나 이는 임의의 올다발에 대하여 성립하지 않는다.)
주다발[편집]
리 군
에 대하여,
가
-주다발이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발
는 리 대수
에 대한 자명한 벡터 다발과 동형이다.
![{\displaystyle \mathrm {V} E\cong {\mathfrak {g}}\times E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e81cae2f914c5847a0c046dd2746b2d32e1f81f)
구체적으로, 우선, 임의의
에 대하여,
의 오른쪽 작용을 생성하는 벡터장의 족을
![{\displaystyle X\colon {\mathfrak {g}}\to \Gamma (\mathrm {T} P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48a94f7581f01236ee993153bcf78a4b6739920c)
![{\displaystyle X\colon x\mapsto X_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80dfe7f1aa53f4df78ec843d2e2310138aff9c0)
로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 정추이적 작용이므로,
의 상은
의 수직 벡터 다발
과 같으며, 이는 벡터 다발의 표준적인 동형 사상
![{\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}\to \mathrm {V} P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae39302d36f0dd7a554c9bbe58e6801fae7c817)
를 정의한다. (좌변은 올이
인 자명한 벡터 다발이다.)
벡터 다발[편집]
매끄러운 다양체
위의 매끄러운 벡터 다발
이 주어졌다고 하자. 이 경우,
의 수직 벡터 다발은 스스로의 당김
와 표준적으로 동형이다.[1]:55, §6.11
![{\displaystyle \mathrm {V} E\cong \pi ^{*}E=E\times _{M}E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3747b1818cf5707c10c1b9fd40fc88d71b986a8c)
외부 링크[편집]