숄레스키 분해 (Cholesky decomposition)는 에르미트 행렬 (Hermitian matrix), 양의 정부호행렬 (positive-definite matrix)의 분해에서 사용된다. 촐레스키 분해의 결과는 하삼각행렬 과 하삼각행렬의 켤레전치 행렬의 곱으로 표현된다.
에르미트 양의 정부호 행렬
A
{\displaystyle A}
의 숄레스키 분해 는 다음과 같은 꼴의 분해이다.
A
=
L
L
∗
{\displaystyle A=LL^{*}}
여기서
L
{\displaystyle L}
은 하삼각행렬 이며,
L
∗
{\displaystyle L^{*}}
는
L
{\displaystyle L}
의 켤레전치 이다. 또한,
L
{\displaystyle L}
의 대각 성분들은 모두 양의 실수이다.
A
{\displaystyle A}
의 모든 성분이 실수이면,
L
{\displaystyle L}
의 모든 성분도 실수이며,
A
=
L
L
T
{\displaystyle A=LL^{T}}
로 분해된다.
프랑스 의 수학자 앙드레루이 숄레스키 (프랑스어 : André-Louis Cholesky )가 실수 행렬에 대해 발견했다.
(
4
12
−
16
12
37
−
43
−
16
−
43
98
)
=
(
2
0
0
6
1
0
−
8
5
3
)
(
2
6
−
8
0
1
5
0
0
3
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\begin{array}{*{3}{r}}4&12&-16\\12&37&-43\\-16&-43&98\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{*{3}{r}}2&0&0\\6&1&0\\-8&5&3\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{*{3}{r}}2&6&-8\\0&1&5\\0&0&3\\\end{array}}\right).\end{aligned}}}
이는 효율적인 수치해석에서 유용하게 사용되며, 몬테 카를로 시뮬레이션 (Monte Carlo Simulations)에서도 유용하다. 선형 방정식 시스템을 푸는 실제 응용에서, 촐레스키 분해가 LU 분해와 비교했을 때 약 두 배 정도 효율적인 것으로 알려졌다.[1]
A
=
L
L
T
=
(
L
11
0
0
L
21
L
22
0
L
31
L
32
L
33
)
(
L
11
L
21
L
31
0
L
22
L
32
0
0
L
33
)
=
(
L
11
2
(
symmetric
)
L
21
L
11
L
21
2
+
L
22
2
L
31
L
11
L
31
L
21
+
L
32
L
22
L
31
2
+
L
32
2
+
L
33
2
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {LL} ^{T}&={\begin{pmatrix}L_{11}&0&0\\L_{21}&L_{22}&0\\L_{31}&L_{32}&L_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}L_{11}&L_{21}&L_{31}\\0&L_{22}&L_{32}\\0&0&L_{33}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}L_{11}^{2}&&({\text{symmetric}})\\L_{21}L_{11}&L_{21}^{2}+L_{22}^{2}&\\L_{31}L_{11}&L_{31}L_{21}+L_{32}L_{22}&L_{31}^{2}+L_{32}^{2}+L_{33}^{2}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
L
=
(
A
11
0
0
A
21
/
L
11
A
22
−
L
21
2
0
A
31
/
L
11
(
A
32
−
L
31
L
21
)
/
L
22
A
33
−
L
31
2
−
L
32
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}{\sqrt {A_{11}}}&0&0\\A_{21}/L_{11}&{\sqrt {A_{22}-L_{21}^{2}}}&0\\A_{31}/L_{11}&\left(A_{32}-L_{31}L_{21}\right)/L_{22}&{\sqrt {A_{33}-L_{31}^{2}-L_{32}^{2}}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
L
j
,
j
=
A
j
,
j
−
∑
k
=
1
j
−
1
L
j
,
k
2
,
{\displaystyle L_{j,j}={\sqrt {A_{j,j}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{j,k}^{2}}},}
L
i
,
j
=
1
L
j
,
j
(
A
i
,
j
−
∑
k
=
1
j
−
1
L
i
,
k
L
j
,
k
)
for
i
>
j
.
{\displaystyle L_{i,j}={\frac {1}{L_{j,j}}}\left(A_{i,j}-\sum _{k=1}^{j-1}L_{i,k}L_{j,k}\right)\quad {\text{for }}i>j.}
같이 보기 [ 편집 ]