물리우주론에서 상태 방정식(狀態方程式, 영어: equation of state)은 이상 유체의 에너지-운동량 텐서를 특정짓는 무차원 매개변수이며, 압력과 에너지 밀도의 비다. 기호는 w. 이는 이상 유체의 (열역학적) 상태 방정식의 매개변수에 해당한다.
이상 유체(perfect fluid)의 에너지-운동량 텐서는 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}\rho \\&p\\&&p\\&&&p\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f3485655327919eda35208c94391579242577f)
여기서
는 유체의 에너지 밀도,
는 유체의 압력이다. 이 경우 유체의 상태 방정식
는
![{\displaystyle w=p/\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af572be112dffd3ab6bfb3606fc211fcc5abb1c)
이다.
프리드만 방정식과의 관계[편집]
프리드만 방정식은
![{\displaystyle 3{\ddot {a}}/a=-4\pi G(\rho +3p)=-4\pi G(1+3w)\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73a2d66e6c34aec3cd421c8d884c3af64e5dd64)
이다. (편의상 우주 상수를
인 물질로 취급할 수 있다.) 그렇다면
![{\displaystyle \rho \propto a^{-3(1+w)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b378cb6243bda911e67cb13a902fd44a75cb365)
이고, 평탄한 우주의 경우
![{\displaystyle a\propto t^{2/(3(1+w))}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a93a28ac2beedd60739bfb3c48f06d05483287)
이 된다. 따라서 우주의 각 시기를, 그 시기에 중요한 에너지원들의 상태 방정식만으로 나타낼 수 있다.
물질 |
상태 방정식 ![{\displaystyle w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6) |
비고
|
먼지(영어: dust) |
0
|
무질량 입자 (광자 기체 등) |
1/3 |
등각 대칭에 따라
|
우주 상수 |
−1 |
|
공간의 곡률 ![{\displaystyle k/a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861f38521198ca44b55832ea9d8f79c5808a040b) |
−1/3 |
제1 프리드만 방정식으로부터, . 제2 프리드만 방정식에는 곡률이 등장하지 않으므로,
|
퍼텐셜 의 스칼라장 |
![{\displaystyle {\frac {{\dot {\phi }}^{2}/2-V(\phi )}{{\dot {\phi }}^{2}/2+V(\phi )}}\in [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c807037ca49bfaaa8d685628f33ae3fef52606) |
퍼텐셜이 작은 경우 (자유 입자) , 퍼텐셜이 큰 경우 (인플라톤)
|