사원수군을 도식화한 그림. 각 색깔은 사원수군의 어떤 원소든지 거듭하여 연산을 하면 항등원(1로 표기)이 된다는 것을 보여주고 있다. 예를 들어, 붉은색으로 표시된 부분은 i 2 = -1, i 3 = -i , i 4 = 1이라는 것을 설명한다. 또한 (-i )2 = -1, (-i )3 = i , (-i )4 = 1이라는 것도 알 수 있다.
군론 에서 사원수군 (四元數群, 영어 : quaternion group )은 단위 사원수 i , j , k 로 생성되는 유한군 이다.
사원수군 은 원소의 개수가 8개인 비아벨 군 이다. 사원수군은 흔히 Q 로 표기되며, 다음의 원소들로 구성되어 있다.
Q = {1, −1, i , −i , j , −j , k , −k }
여기에서 1은 항등원 을 나타내며 (-1)2 = 1이 성립한다. 또한 Q 의 임의의 원소 a 에 대해 (-1)a = a (-1) = -a 가 성립한다. 이 외에도 원소들간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
i
2
=
j
2
=
k
2
=
i
j
k
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}
사원수군의 군 표 (Cayley table)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
1
−1
i
−i
j
−j
k
−k
1
1
−1
i
−i
j
−j
k
−k
−1
−1
1
−i
i
−j
j
−k
k
i
i
−i
−1
1
k
−k
−j
j
−i
−i
i
1
−1
−k
k
j
−j
j
j
−j
−k
k
−1
1
i
−i
−j
−j
j
k
−k
1
−1
−i
i
k
k
−k
j
−j
−i
i
−1
1
−k
−k
k
−j
j
i
−i
1
−1
표를 살펴보면, 이 군이 비가환군이라는 사실을 확인할 수 있다. 즉 교환법칙이 성립하지 않는다. 예를 들어 ij = -ji 이다.
행렬 표현 [ 편집 ]
사원수군은 GL2 (C )의 부분군 으로 나타낼 수 있다.[1]
Q
=
{
±
1
,
±
i
,
±
j
,
±
k
}
{\displaystyle Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}
의 원소들은 각각 다음 행렬에 대응된다.
1
=
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle \ 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
i
=
(
i
0
0
−
i
)
{\displaystyle \ i={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}}
j
=
(
0
1
−
1
0
)
{\displaystyle \ j={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
k
=
(
0
i
i
0
)
{\displaystyle \ k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}
여기에서
i
{\displaystyle i}
는 허수 단위 이다.
자기 동형 [ 편집 ]
사원수군의 중심 은
{
±
1
}
{\displaystyle \{\pm 1\}}
이며, 사원수군의 교환자 부분군 역시
{
±
1
}
{\displaystyle \{\pm 1\}}
이다. 이에 대한 몫군(내부 자기 동형군)은 클라인 4원군
Cyc
(
2
)
×
Cyc
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)\times \operatorname {Cyc} (2)}
이다.
사원수군의 자기 동형군 은 4차 군론
Sym
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (4)}
이다. 외부 자기 동형군은
Sym
(
4
)
/
(
Cyc
(
2
)
×
Cyc
(
2
)
)
≅
Sym
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (4)/(\operatorname {Cyc} (2)\times \operatorname {Cyc} (2))\cong \operatorname {Sym} (3)}
이다.
부분군 [ 편집 ]
사원수군의 부분군은 (자명군 과 스스로를 포함하여) 총 6개가 있으며, 이들은 다음과 같다.
크기 8:
Q
{\displaystyle Q}
크기 4:
⟨
i
⟩
,
⟨
j
⟩
,
⟨
k
⟩
≤
Q
{\displaystyle \langle i\rangle ,\langle j\rangle ,\langle k\rangle \leq \mathbb {Q} }
. 이들은 모두 4차 순환군
Cyc
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (4)}
와 동형이다. 이에 대한 몫군은 2차 순환군이다.
크기 2:
⟨
−
1
⟩
≤
Q
{\displaystyle \langle -1\rangle \leq Q}
. 이는 2차 순환군과 동형이다. 이에 대한 몫군은 클라인 4원군 과 동형이다.
크기 1: 자명군
1
{\displaystyle 1}
이들은 모두 정규 부분군 이다. 즉, 사원수군은 데데킨트 군 을 이룬다.
↑ Thomas W. Hungerford. 《Algebra》. Springer-Verlag. 33쪽.
같이 보기 [ 편집 ]