사용자:Kobmuiv/대수적 양자장론
수리물리학에서, 대수적 양자장론은 C*-대수를 국소적 양자 물리학에 응용한 이론이다. 헤이그와 카스틀러가 도입했기 때문에 양자장론에 대한 헤이그-카스틀러 공리계라고도 한다. 이 공리계는 민코프스키 공간의 모든 열린 집합에 대해 주어진 대수와 그 사이의 사상으로 명시된다. 양자장론의 공리화라는 수리물리학의 주요 과제에 속한다.
헤이그-카스틀러 공리[편집]
를 민코프스키 공간의 모든 열린 부분집합과 제한된 부분집합의 집합이라 하자. 대수적 양자장론은 공통적 힐베르트 공간 에서 폰 노이만 대수 의 그물 을 통해 정의된다. 공리계는 다음과 같다:[1]
- 아이소토니: 이면 .
- 인과관계: 만일 와 가 장소꼴로 분리되어 있으면, .
- 푸앵카레 공변성: 강하게 연속적인 단일 표현 푸앵카레 군의 ~에 그렇게 존재한다
- 스펙트럼 조건 : 에너지 운동량 연산자 의 조인트 스펙트럼 (즉, 시공간 변환의 생성원)는 닫힌 전방 광원뿔에 포함되어 있다.
- 진공 벡터의 존재 : 순환 벡터와 푸앵카레 불변 벡터 가 존재한다.
그물 대수학 들은 국소 대수라고 부른다. C*-대수 는 준 국소대수라고 불린다.
범주론 공식화[편집]
범주 를 사상이 포함 함수이고 대상은 민코프스키 공간 의 열린 부분 집합들인 범주라 하자. 의 모든 사상이 C*-대수 범주 의 단사 사상에 사상되는 공변 함자 가 주어진다.(아이소토니)
푸앵카레 군은 에 대해 연속적으로 작용한다. 이 작용의 당김이 존재하며 이는 의 표준 위상에서 연속이다.(푸앵카레 공변).
민코프스키 공간은 인과구조를 가지고 있다. 열린 집합 가 열린 집합 의 인과적 여집합에 있는 경우 사상의 상은
이고
는 교환한다 (장소꼴 교환성). 만약 가 열린 집합 의 인과적 완비화이면 는 동형 사상 (원시적 인과관계)이다.
C*-대수와 관련된 상태는 단위 노름을 갖는 양의 선형 범함수이다. 위의 상태가 주어진 경우, "부분 대각합"을 가지고 그물 단사 사상을 통해 각 열린 집합 에 대해 과 관련된 상태를 얻을 수 있다. 열린 집합에 대한 상태는 준층 구조를 형성한다.
겔판트-나이마크-세겔 구성에 따르면 각 상태에 대해 의 힐베르트 공간 표현을 연관시킬 수 있다. 순수 상태는 기약 표현에 해당하고 혼합 상태는 가약 표현에 해당한다. 각각의 기약 표현(동치 관계 기준)을 초선택 규칙 섹터라고 한다. 우리는 다음과 같은 성질을 가진 진공이라는 순수 상태가 있다고 가정한다: 이 진공과 관련된 힐베르트 공간은 푸앵카레 공변성과 호환되고, 푸앵카레 대수를 보면 에너지-운동량(시공간 변환에 해당)에 대한 스펙트럼이 양의 빛 원뿔 위와 내부에 있는 푸앵카레 군의 유니터리 표현이다. 이는 진공 섹터이다.
휘어진 시공간에서의 양자장론[편집]
최근에는 대수적 양자장론이 휘어진 시공간 양자장론을 포함하도록 하는 접근 방식이 추가로 구현되었다. 실제로, 국소적 양자 물리학의 관점은 휘어진 배경에서 전개된 양자장론에 대한 재규격화 절차를 일반화하는 데 특히 적합하다. 블랙홀이 있는 경우 양자장론에 관한 몇 가지 엄격한 결과가 얻어졌다.[ 인용 필요 ]
각주[편집]
- ↑ Baumgärtel, Hellmut (1995). 《Operatoralgebraic Methods in Quantum Field Theory》. Berlin: Akademie Verlag. ISBN 3-05-501655-6.
참고문헌[편집]
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외부 링크[편집]
- Local Quantum Physics Crossroads 2.0 – 국소적 양자 물리학을 연구하는 과학자 네트워크
- 논문 – 대수적 QFT에 대한 사전 인쇄 데이터베이스
- 대수적 양자장론 – 함부르크 대학의 AQFT 리소스