해석학에서 멜린 변환(Mellin變換, 영어: Mellin transform)은 양의 실수선 위의 함수에 대하여 정의되는 적분 변환의 일종이다.[1] 푸리에 변환에 지수 함수를 합성한 것이다. 이에 따라, 푸리에 변환이나 라플라스 변환이 평행 이동에 대하여 호환되는 것에 반해, 멜린 변환은 확대 변환에 대하여 호환된다. 원래 함수의 0 또는 무한대에서의 점근적 급수의 계수는 멜린 변환의 극점의 계수로 주어진다.
라고 하자. 양의 실수선 (
) 위에 정의된 실수 값 함수
![{\displaystyle f\in \operatorname {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{+};\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c89f2b5b03a8fe9869d335b357993215396cdc)
![{\displaystyle f\colon (0,\infty )\to \mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61c50d7235d91de82bf953f7304b8a13b7319dd)
가 주어졌다고 하자. (
은 1차 르베그 공간, 즉 절댓값 적분 가능 함수 공간이다.)
의 정의역은 위 적분이 수렴하는 복소수
들의 집합이다.
그렇다면,
의 멜린 변환은 (만약 존재한다면) 다음과 같은 적분 변환이다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}f(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52cadd71b7e8752a30dee77dac80cdf41ee3db19)
확장된 멜린 변환[편집]
만약 위와 같은 멜린 변환이 수렴하지 않더라도, 일부 경우 멜린 변환을 다음과 같이 정의할 수 있다.[1]:§1
우선, 함수
가 0 근처에서 점근적 급수
![{\displaystyle f(x)\sim \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{\alpha _{i}}(\ln x)^{m_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5600c8ec51ce774f4f3f64b15647a2929265e932)
를 갖는다고 하자. (이 급수는 점근적 급수이다. 즉, 수렴할 필요는 없다.) 여기서
![{\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0601dda4d823dc183d6cc1bbde8ccf51bd03eadd)
는
![{\displaystyle \Re \alpha _{0}\leq \Re \alpha _{1}\leq \Re \alpha _{2}\leq \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf5cdfe96d4ea993ecc5c22ca51630d3543655b)
![{\displaystyle \sup _{i=0}^{\infty }\Re \alpha _{i}=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4401dc4f9d430f7556bfae07336bfaa91bcdfa1)
를 만족시키는 복소수열이며,
![{\displaystyle m_{i}\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f8b9655c22e5bf739e8b00ab9c1478613a2078)
는 자연수(음이 아닌 정수)의 수열이다.
그렇다면, 임의의
에 대하여 "부분 멜린 변환"
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{T}x^{s}f(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322467a95110b6d4589ae9c97fc7bc9e3db1e7ed)
는 해석적 연속을 가하면 복소평면 위의 유리형 함수이며, 그 극점들은
에 위치하며, 극점 근처에서의 로랑 급수는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)={\frac {(-1)^{m_{i}}m_{i}!a_{i}}{(s+\alpha _{i})^{m_{i}+1}}}+{\mathcal {O}}\left((s+\alpha _{i})^{-m_{i}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c20877975c10cab7dd78c042619e429da24ad9)
마찬가지로,
가 무한대 근처에서 점근적 급수
![{\displaystyle f(x)\sim \sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{\beta _{i}}(\ln x)^{n_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2afc3df847220bb1738d7fea8ddc3651dfc9cf1)
를 갖는다고 하자. 여기서
![{\displaystyle \beta _{i}\in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b797b9679e20645418299ec7a98fb63afa16c3d)
는
![{\displaystyle \Re \beta _{0}\geq \Re \beta _{1}\geq \Re \beta _{2}\geq \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a062dbe254c62963f6ea2111e7e4c1f09db5f983)
![{\displaystyle \inf _{i=0}^{\infty }\Re \beta _{i}=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b890f4bbcb3a68761c253841adf3512b4182d33f)
를 만족시키는 복소수열이며,
![{\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cc13c5962f46501fd1d792ac09ab2fd6f2527d)
는 자연수(음이 아닌 정수)의 수열이다. 그렇다면, 임의의
에 대하여 "부분 멜린 변환"
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{T}^{\infty }x^{s}f(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fde620c66c795e7c9e54c8e46c655eee1587be7)
는 해석적 연속을 가하면 복소평면 위의 유리형 함수이며, 그 극점들은
에 위치하며, 극점 근처에서의 로랑 급수는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=-{\frac {(-1)^{n_{i}}n_{i}!b_{i}}{(s+\beta _{i})^{n_{i}+1}}}+{\mathcal {O}}\left((s+\beta _{i})^{-n_{i}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661b30483b4ebaac07937946487e7b1233363132)
이에 따라, 임의의
에 대하여 (일반화) 멜린 변환을 위와 같은 두 "부분 멜린 변환"의 해석적 연속의 합인 유리형 함수로 정의할 수 있으며, 이는
의 선택에 의존하지 않는다.
이러한 꼴의 함수에 대하여, 기본대는
![{\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b89125148d6cbe85e9edca230bae19ca207a93bd)
이다. 특히
일 수 있는데, 이 경우 고전적 멜린 변환은 정의되지 않는다.
정의역[편집]
임의의
에 대하여,
의 정의역은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle (a,b)+\mathrm {i} \mathbb {R} \subseteq {\mathcal {M}}f\subseteq [a,b]+\mathrm {i} \mathbb {R} \qquad (a,b\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c865b5c47bac41c675c01ac0d767bad0ab7454)
즉, 경계에서의 영집합을 제외하면 나머지는
꼴의, 복소평면의 띠이다. 이를
의 기본대(基本帶, 영어: fundamental strip)라고 한다.
특히, 임의의
에 대하여,
의 기본대는 항상
를 포함한다.
임의의 두 실수
에 대하여, 만약 함수
가
![{\displaystyle f\in \operatorname {O} (x^{-\alpha })\qquad (x\to 0^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4085447230572ac689526bd6aabb5d6ad56c7ff)
![{\displaystyle f\in \operatorname {O} (x^{-\beta })\qquad (x\to +\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446fa7a7e373f8f195c1327834bfe5cb08599cef)
와 같은 점근적 성질을 갖는다면, 열린구간
는
의 기본대에 속한다.
멜린 역변환[편집]
멜린 변환은 다음과 같은 역을 갖는다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}F(x)={\frac {1}{2\mathrm {\pi } i}}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }x^{-s}F(s)\,\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30920a411827dad9d26b824c480964c0258d1d2)
여기서
는 임의의 상수이며,
는 주분지(영어: principal branch)를 사용한다.
특히, 만약
일 경우, 항상
로 잡을 수 있다.
연산과의 호환[편집]
멜린 변환은 다음 성질들을 만족시킨다.[1]:§1, (2)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}(x\mapsto f(\alpha x))\colon s\mapsto \alpha ^{-s}{\mathcal {M}}f(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ade3a6bd0f936a6e5db39302d043ebc601ae76)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}(x\mapsto x^{\alpha }f(x))\colon s\mapsto {\mathcal {M}}f(s+\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b922a49750435664953e6ec72b5eb9c661317f)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}(x\mapsto f(x^{\alpha }))\colon s\mapsto \alpha ^{-s}{\mathcal {M}}f(s/\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc33cf9a4aa8469231f681faa44524bd7080f21)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}(x\mapsto f(1/x))\colon s\mapsto {\mathcal {M}}f(-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e42b4a6ea652272d40a7a664a0422da1022151)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}(x\mapsto \mathrm {d} f(x)/\mathrm {d} x)\colon s\mapsto (1-s){\mathcal {M}}f(s-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9eb641bc3039c2c143689c36c67dddba25c9ad)
유니터리성[편집]
복소수 힐베르트 공간
에서, 다음을 정의하자.
![{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}f(s)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {M}}f(s+\mathrm {i} s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636992710f0ad8c420eb3ba943de3332d1d7d1b6)
![{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-1/2-\mathrm {i} s}F(s)\;\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b847ecb857af33e1f63220e8b064bf16f2e38197)
그렇다면,
![{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{+};\mathbb {C} )\to \operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61b89761a006b2b4f2fd63ce97ac6e6a75989bbc)
는 두 복소수 힐베르트 공간 사이의 유니터리 변환(=등거리 복소수 선형 변환)을 정의한다.
다른 변환과의 관계[편집]
적절한 조건 아래, 멜린 변환은 다음과 같이 푸리에 변환(
)으로 표현된다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)={\mathcal {F}}[f\circ \exp ](-\mathrm {i} s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/778f9594903bc9ec2b8f2a154b1e3d826d016fd5)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}f(s)={\mathcal {M}}[f\circ (-\ln )](\mathrm {i} s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d519da8a59cc2eb40df75e2c749f4d722a2877ad)
마찬가지로, 양쪽 라플라스 변환
와의 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathcal {B}}f(s)={\mathcal {M}}[f\circ (-\ln )](s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7eb3b1032e7abd4e2d0c1c44441e879f4682cd6)
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)={\mathcal {B}}[x\mapsto f(\exp(-x))](s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98aa196656b390e23117b114bb9c0bea5a71b48)
수론에서 자주 등장하는 함수
![{\displaystyle f(x)=[x>1]x^{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b69edba5454d4f8e5de4a969b521d4cfb28ec2f5)
를 생각하자. (
는 아이버슨 괄호, 즉 괄호 속의 명제가 참이면 1, 거짓이면 0이다.)
그 멜린 변환은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=-{\frac {1}{s+a}}\qquad (\Re (s+a)<0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4b911c4728ee6f94c96a85d95d1f40c76f05d1)
지수 함수 → 감마 함수[편집]
함수
![{\displaystyle f\colon x\mapsto \exp(-x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5d1cd0140389c52b0cec8db956d9b301cb1e40)
의 멜린 변환은 다음과 같이 감마 함수이다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\exp(-x)dx=\Gamma (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e43607217b6907b2edcbaacd3857e2bf613219)
위 적분이 수렴하는
의 값, 즉 멜린 변환의 정의역은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {dom} ({\mathcal {M}}f)=([0,\infty )+\mathrm {i} \mathbb {R} )\setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39199b113268e794208bd7a8d4c3d134cb685937)
특히,
의 멜린 변환의 기본띠는
이다.
그 역변환인 적분
![{\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\Gamma (x)={\frac {1}{2\mathrm {\pi } \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }x^{-s}\Gamma (s)\,\mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8250765ac62ed6e739ef2f5319f6c69f436d38d)
을 카앵-멜린 적분(영어: Cahen–Mellin integral)이라고 한다.
세타 함수 → 리만 제타 함수[편집]
야코비 세타 함수
의 멜린 변환은 리만 제타 함수이다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}\theta (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\theta (x)\;\mathrm {d} x=\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ec4439caf94b52729ec5fea78532ab8fd02274)
베르누이 수[편집]
베르누이 수의 생성 함수
![{\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {B_{i}x^{i-1}}{i!}}={\frac {1}{\exp(x)-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e21bf3b649cffccebb0cd4e794eb7fdf9689845)
의 멜린 변환은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\Gamma (s)\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81d40a5bee446da33b814d0f519a1e00d9107c6)
여기서
는 감마 함수이며
는 리만 제타 함수이다. 이에 따라, 감마 함수의 극점을 통해 리만 제타 함수의 음의 정수에서의 값이
![{\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84bd3b927ea29bac75b86b9d359a7be491cc7bb9)
임을 알 수 있다.
핀란드의 수학자 로베르트 얄마르 멜린(스웨덴어: Robert Hjalmar Mellin, 1854~1933)이 도입하였다.[2][3] 이후 외젠 카앵(프랑스어: Eugène Cahen, 1865~1941)이 그 이론을 개량하였다.
물리학[편집]
양자장론에서, 분배 함수의 멜린 변환은 1고리 진공 진폭(영어: one-loop vacuum amplitude)이라고 한다. 즉, 해밀토니언 연산자
에 대하여,
![{\displaystyle \operatorname {tr} (H^{-s})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c2578d5f48fcdbf904c09295824d47a72a128e)
를 생각하자. 이는
일 때 그린 함수=전파 인자이다. 이는 다음과 같이 분배 함수
![{\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {tr} (-\beta H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd98a5b2d80c7a2212a37e018620f6f578a50d0)
의 멜린 변환으로 얻어진다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (H^{-s})=\int _{0}^{\infty }\operatorname {tr} (-\beta H)\;\mathrm {d} \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0b38748c7dac1fbc56427ab3670e2e865dbf19)
여기서
는 (분배 함수의 관점에서) 온도의 역수이다.
이 사실은 파인먼 도형에 대응된 적분을 계산하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 이 경우, 1고리 진공 진폭
을 계산하려면 이를 위와 같은 꼴의 멜린 변환으로 나타내는데, 이 경우 등장하는 보조 변수
를 슈윙거 매개 변수(영어: Schwinger parameter)라고 한다. 이는 양자장론을 일종의 시그마 모형으로 간주하였을 때, 입자의 세계선의 시간( 의
배 --> 윅 회전 영어: Wick rotation )에 해당한다.
연산자의 제타 함수[편집]
보다 일반적으로, 콤팩트 매끄러운 다양체
위의 복소수 매끄러운 벡터 다발
위의 라플라스형 연산자
의 열핵
![{\displaystyle K(t,-,-)\in \Gamma ^{\infty }((E\otimes |\Lambda M|^{1/2})\boxtimes (E^{*}\otimes |\Lambda M|^{1/2})\qquad (t\in \mathbb {R} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141d67296accccd40c4368f09b08b4ce50048132)
를 생각하자. 이 경우, 임의의 함수
에 대하여, 힐베르트 공간
![{\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(M;E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/966052db37be4060f1dacefe183f58eb260e6112)
에서의 대각합
![{\displaystyle \operatorname {tr} \left(f\exp(-tH)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e8d08e377a2036595617f4430aa6bfe330961e)
을 정의할 수 있다. 이제 이것의
에 대한 멜린 변환을 취하자.
![{\displaystyle \Gamma (s)\zeta _{D}(s;f)=\int _{0}^{\infty }t^{s}\operatorname {tr} \left(f\exp(-tH)\right)\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749f458469f6cab5505b67b278942291e5582af4)
(편의상 감마 함수 인자
를 삽입하였다.) 이 경우,
는 (적절한 해석적 연속을 가하면) 라플라스형 연산자
의 제타 함수(영어: zeta function)라고 한다. 제타 함수의 특이점들은 라플라스형 연산자에 대한 다양한 정보들을 담고 있다.[4]:§2.2
조합론[편집]
멜린 변환은 또한 조합론에서도 자주 등장한다.[5]
외부 링크[편집]