라이스너-노르드스트룀 계량(영어: Reissner–Nordström metric, RN)은 구면대칭 전하에 대한 아인슈타인 방정식의 해다.
편의상
로 놓자. 라이스너-노르드스트룀 계량은 다음과 같다.
![{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8247a4732e32cb45ee7799bea96a879a08acc5)
![{\displaystyle A_{t}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f450493b62440ac357f29d620b3cfdfce98e5e1)
여기서
![{\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f943d660ccbe7c6042745ddbdd3d373f745e9b0)
이고,
은 블랙홀의 질량,
는 블랙홀의 전하이다. 전하가 0일 경우 RN 계량은 슈바르츠실트 계량이 된다.
RN 계량에서는 두 개의 지평선이 존재한다. 좌표로 쓰면
![{\displaystyle r_{\pm }=GM\pm {\sqrt {G^{2}M^{2}-GQ^{2}/4\pi \epsilon _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b33ce5f42bf4774575f56364d1128315a10be0c)
이다. 겉의 것은 사건 지평선이고, 안의 것은 코시 지평선이다. 전하가
![{\displaystyle |Q|={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d34dea8cabd3fa87cde99b6bce5364049f4f01eb)
일 때, 두 개의 지평선은 겹친다. 이 경우를 극대 블랙홀이라 한다. 이는
![{\displaystyle |Q|/M={\sqrt {4\pi \epsilon _{0}G}}=24.3\;\mathrm {pC/kg} =152\,e/\mathrm {mg} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00001775db4adcb9adda21bcef18c2d4547d6b99)
일 경우이다.
이면 시공간에 벌거숭이 특이점이 발생한다. 로저 펜로즈의 우주 검열 가설에 따르면, 이러한 블랙홀은 자연계에 존재하지 않는 것으로 여겨진다.
고차원 라이스너-노르드스트룀 계량[편집]
편의상
로 놓자.
임의의
차원의 민코프스키 공간 속에서 라이스너-노르드스트룀 계량이 존재한다. 그 계량은 다음과 같다.[1]:265
![{\displaystyle ds^{2}=-H(r)^{-2}W(r)dt^{2}+H^{2/(d-3)}\left(W(r)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{(d-2)}^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4465333e686ca44e4276a5f84cab9589e47bab6b)
![{\displaystyle A_{0}(r)=\alpha (H^{-1}(r)-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6b41f749c41e6cc86c930cdaddac400850221e)
![{\displaystyle H(r)=1-{\frac {\omega }{\left(1-{\frac {d-3}{2(d-2)\alpha ^{2}}}\right)r^{d-3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8949d1c2f0204ff52056d9424c573d46c458724b)
![{\displaystyle W(r)=1-\omega /r^{d-3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf0079cd72fbb43fe33a52b1c80fb4f9ca484b4)
여기서 상수
,
,
는 블랙홀의 질량
및 전하
와 다음과 같은 관계를 갖는다.
![{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{(d-3)\operatorname {vol} (S^{d-2})}}{\frac {Q}{(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})M+\omega /2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07216d2f0a16ca3d5ef99aecf8a4b4c25ef99af6)
![{\displaystyle \omega ={\frac {1}{(d-2)\operatorname {vol} (S^{d-2})}}{\sqrt {M^{2}-{\frac {d-2}{d-3}}Q^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a0ce41e8f173f27e2f7ec0e75cdec44601734b)
여기서
![{\displaystyle \operatorname {vol} (S^{d-2})={\frac {(d+1)\pi ^{(d+1)/2}}{\Gamma ((d+3)/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061a062f8563ea09991225f83de9a3c30a5fb417)
은
차원 단위 초구의 넓이다.
고차원 라이스터-노르드스트룀 해의 사건 지평선은
![{\displaystyle r={\sqrt[{d-3}]{\omega }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e542689f5c0cc21e5127fe81e7d96c2b4dd589)
에 위치한다. 벌거숭이 특이점이 아닐 조건은 다음과 같다.[1]:(8.228)
![{\displaystyle |Q|/M\leq {\sqrt {8\pi G\epsilon _{0}\cdot {\frac {d-3}{d-2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c4b14e232ad459d37e88207f53b8a0c817304c4)
슈바르츠실트 계량이 발견된 직후에 독일의 항공우주공학자 한스 야코프 라이스너(독일어: Hans Jacob Reissner)와 핀란드의 물리학자 군나르 노르드스트룀, 독일의 수학자 헤르만 바일[2], 영국의 수리물리학자 조지 바커 제프리[3]가 각각 독립적으로 발견하였다.
같이 보기[편집]
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