라돈의 정리
기하학에서, 1921년에 요한 라돈에 의해 출판된 볼록 집합의 라돈의 정리는 어떤 Rd의 점 d + 2 개의 집합이든지 볼록 폐포가 교차하는 두 서로소 집합으로 분할할 수 있다고 한다. 이 볼록 폐포의 교집합에 있는 점을 집합의 라돈 점이라고 부른다.
예를 들어, d = 2인 경우, 유클리드 평면에 있는 어떤 네 점의 집합은 두 방법 중 하나로 나뉘어 질 수 있다. 이것은 세 개의 집합 (삼각형)의 볼록 폐포가 하나의 집합을 포함하는 세 개의 집합과 한 개의 집합을 만들 수 있다; 대신에 두 개의 선분이 교차하도록 하는 양 끝점을 이루는 두 쌍의 점을 만들 수 있다.
정의와 구성[편집]
d차원 공간의 점 d + 2 개의 어떤 집합 을 고려하자. 그러면 다음 연립 일차 방정식을 푸는 모두 영이 아닌 계수들의 집합 a1, ..., ad + 2가 존재한다:
모르는 것(계수)이 d + 2 개가 있고 만족시켜야 하는 방정식은 d + 1 개 밖에 없기 때문에(하나하나는 점의 각각의 위치에 관한 것이고 마지막 방정식은 계수의 합이 0이 되어야 한다는 것이다), 0이 아닌 특정한 솔루션 a1, ..., ad + 2을 고정하자. I를 양의 계수를 가지는 점의 집합이라고 하고, J를 음이나 영의 계수를 가지는 점의 집합이라고 하자. 그러면 I와 J는 요구한 점들을 볼록 폐포가 교차하는 두 개의 부분집합으로의 분할을 만족한다.
I와 J의 볼록 폐포는 다음 점을 공통으로 포함하기 때문에 교차한다:
이 때, 는 다음과 같다:
공식의 좌변의 p는 이 점을 I에 있는 점의 볼록 조합으로 나타내고, 우변은 이것을 J의 점들의 볼록 조합으로 나타낸다. 따라서, p는 양 쪽의 볼록 폐포에 포함되기 때문에 증명이 완료되었다.
이 증명 방법은 가우스 소거법이나 계수의 연립 일차 방정식을 풀기 위한 다른 효율적인 알고리즘을 사용해서 차원의 다항 시간에 라돈 점의 효율적인 생성을 가능하게 한다.[1]
위상 수학적 라돈 정리[편집]
라돈의 정리의 위상수학적인 일반화는 다음을 말한다. ƒ가 (d + 1)차원 단체에서 d차원 공간까지 연속인 어떤 함수일 때, 그 단체는 ƒ의 상에서는 교차하지만 서로 교차하지 않는 두 개의 면을 가진다.[2] 라돈의 정리 자체는 ƒ가 단체의 꼭짓점을 d차원 공간의 d + 2개의 점으로 가지는 유일한 아핀 맵인 특수한 경우로 해석될 수 있다.
더 일반적으로, K가 어떤 (d + 1)차원 콤팩트 볼록 집합이고, ƒ가 K에서 d차원 공간까지 연속인 어떤 함수라고 하면, g가 최댓값을 가지는 점들 과 최솟값을 가지는 점들이 ƒ의 같은 점에 맵핑되는 선형 함수 g가 존재한다. K가 단체인 경우에, g의 최소점과 최대점으로 생성되는 두 단체의 면들은 그러면 반드시 두 교차하지 않는 면들의 상들의 교집합은 공집합이 아니게 된다. 이 같은 일반적인 명제를 단체 대신에 초구에 적용하면 ƒ가 반드시 구의 두 극점에 같은 점에 맵핑되는 보르수크-울람 정리를 얻는다.[2]
적용[편집]
평면의 어떤 네 점의 라돈 점은 다른 점들과의 거리의 합이 최소인 기하학적 중심이다.[3][4]
라돈의 정리는 헬리의 정리의 볼록 집합의 교점에서 표준적인 증명의 핵심 단계를 만든다;[5] 이 증명은 라돈의 정리의 라돈의 원래의 발견의 동기였다.
라돈의 정리는 선형 분리의 면에서 d차원의 점의 VC 차원을 계산하기 위해서 사용된다. 모든 두 공집합이 아닌 부분집합이 서로 초평면으로 분리할 수 있는 점 d + 1개의 집합(예를 들어, 정단체의 점들)이 존재한다. 하지만 어떤 점 d + 2 개의 집합이 주어지던지에 관계없이, 라돈 분할의 두 부분집합은 선형적으로 분리할 수 없다. 따라서, 이 계의 VC 차원은 정확히 d + 1이다.[6]
반복적으로 점 d + 2 개의 집합을 반복적으로 라돈 점으로 재배치하는 무작위 알고리즘은 모든 점 집합의 중간점을 점의 개수와 차원에 관한 다항시간 안에 근사한다.[1]
각주[편집]
- ↑ 가 나 Clarkson 등. (1996) .
- ↑ 가 나 Bajmóczy & Bárány (1979) ; Matoušek (2003) .
- ↑ Cieslik, Dietmar (2006), 《Shortest Connectivity: An Introduction with Applications in Phylogeny》, Combinatorial Optimization 17, Springer, 6쪽, ISBN 9780387235394.
- ↑ Plastria, Frank (2006), “Four-point Fermat location problems revisited. New proofs and extensions of old results” (PDF), 《IMA Journal of Management Mathematics》 17 (4): 387–396, doi:10.1093/imaman/dpl007, Zbl 1126.90046, 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서, 2017년 11월 17일에 확인함.
- ↑ Matoušek (2002, 11쪽) .
- ↑ Epsilon-nets and VC-dimension Archived 2011년 7월 22일 - 웨이백 머신, Lecture Notes by Marco Pellegrini, 2004.
- Bajmóczy, E. G.; Bárány, I. (1979), “A common generalization of Borsuk's and Radon's theorem”, 《Acta Mathematica Hungarica》 34: 347–350, doi:10.1007/BF01896131.
- Bandelt, H.-J.; Pesch, E. (1989), “A Radon theorem for Helly graphs”, 《Archiv der Mathematik》 52 (1): 95–98, doi:10.1007/BF01197978.
- Chepoi, V. D. (1986), “Some properties of the d-convexity in triangulated graphs”, 《Mat. Issled.》 (러시아어) 87: 164–177. As cited by Bandelt & Pesch (1989) .
- Clarkson, Kenneth L.; Eppstein, David; Miller, Gary L.; Sturtivant, Carl; Teng, Shang-Hua (1996), “Approximating center points with iterated Radon points” (PDF), 《Int. J. Computational Geometry & Applications》 6 (3): 357–377, doi:10.1142/s021819599600023x, MR 1409651, 2012년 2월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서, 2017년 11월 17일에 확인함.
- Danzer, L.; Grünbaum, B.; Klee, V. (1963), 〈Helly's theorem and its relatives〉, 《Convexity》, Proc. Symp. Pure Math. 7, American Mathematical Society, 101–179쪽.
- Duchet, Pierre (1987), “Convex sets in graphs. II. Minimal path convexity”, 《Journal of Combinatorial Theory, Series A》 44 (3): 307–316, doi:10.1016/0095-8956(88)90039-1. As cited by Bandelt & Pesch (1989) .
- Eckhoff, J. (1993), 〈Helly, Radon, and Carathéodory type theorems〉, 《Handbook of Convex Geometry》 A, B, Amsterdam: North-Holland, 389–448쪽.
- Kay, David C.; Womble, Eugene W. (1971), “Axiomatic convexity theory and relationships between the Carathéodory, Helly, and Radon numbers”, 《Pacific Journal of Mathematics》 38 (2): 471–485, doi:10.2140/pjm.1971.38.471, MR 0310766.
- Matoušek, J. (2002), 〈1.3 Radon's Lemma and Helly's Theorem〉, 《Lectures on Discrete Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer-Verlag, 9–12쪽, ISBN 978-0-387-95373-1.
- Matoušek, J. (2003), 〈5.1 Nonembeddability Theorems: An Introduction〉, 《Using the Borsuk–Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry》, Springer-Verlag, 88–92쪽.
- Radon, J. (1921), “Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten”, 《Mathematische Annalen》 83 (1–2): 113–115, doi:10.1007/BF01464231.
- Tverberg, H. (1966), “A generalization of Radon's theorem” (PDF), 《Journal of the London Mathematical Society》 41: 123–128, doi:10.1112/jlms/s1-41.1.123.