수치해석 에서 라그랑주 다항식 은 라그랑주 형식 에서 데이터 포인트의 주어진 집합으로부터 다항식을 보간하는 방법으로, 조제프루이 라그랑주 의 이름에서 왔다. 이것은 1779년 에드워드 웨어링 에 의해 처음으로 발견되었고, 1783년 에 레온하르트 오일러 에 의해 마지막으로 재발견되었다.
이 그림은 네개의 점((−9, 5) , (−4, 2) , (−1, −2) , (7, 9) )에 대하여 (입방체의) 보간 다항식 L (x )크기가 변형 된 기초 다항식 (y0 L 0 (x ) , y1 L 1 (x ) , y2 L 2 (x ) 그리고 y3 L 3 (x ) )의 합이다. 보간 다항식은 4개의 모든 컨트롤 포인트를 지나고, 각각 크기가 변형된 기초 다항식은 그것들 각각의 컨트롤 포인트를 지나고 x 가 다른 세개의 컨트롤 포인트에 부합되는 곳에서 0이다. k + 1 데이터 포인트의 주어진 집합
(
x
0
,
y
0
)
,
…
,
(
x
j
,
y
j
)
,
…
,
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
여기서 x j 라그랑주 형식의 보간 다항식 은 선형 결합
L
(
x
)
:=
∑
j
=
0
k
y
j
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle L(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x)}
이다. 이것의 라그랑주 기초 다항식은 다음과 같다.
ℓ
j
(
x
)
:=
∏
f
=
0
,
f
≠
j
k
x
−
x
f
x
j
−
x
f
=
(
x
−
x
0
)
(
x
j
−
x
0
)
⋯
(
x
−
x
j
−
1
)
(
x
j
−
x
j
−
1
)
(
x
−
x
j
+
1
)
(
x
j
−
x
j
+
1
)
⋯
(
x
−
x
k
)
(
x
j
−
x
k
)
.
{\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}.}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
x
j
−
x
f
≠
0
{\displaystyle x_{j}-x_{f}\neq 0}
L (x )가 적절히 데이터를 보간 하기 위하여,
우리가 관찰하는 함수는 각 데이터 포인트 j 에 해당하는 k 보다 적거나 같은 차수의 다항식 L (x )이어야 한다.
L
(
x
j
)
=
y
j
j
=
0
,
…
,
k
{\displaystyle L(x_{j})=y_{j}\qquad j=0,\ldots ,k}
만약 이 문항이 모든 j 를 쥐고 있다면, 우리는 그 다항식이 보간 문제의 솔루션이라 말한다.
증명:
곱에서 k 항을 포함하고 있고 각 항마다 x 하나를 포함하고 있는
ℓ
j
(
x
)
{\displaystyle \ell _{j}(x)}
L (x )(이것은 k 차 다항식의 합이다.)는 k 차 다항식이어야 한다.
ℓ
j
(
x
i
)
=
∏
f
=
0
,
f
≠
j
k
x
i
−
x
f
x
j
−
x
f
{\displaystyle \ell _{j}(x_{i})=\prod _{f=0,\,f\neq j}^{k}{\frac {x_{i}-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}}
이 곱셈을 확장한다면 무엇이 일어날지를 보라. 곱이
f
=
j
{\displaystyle f=j}
i
=
j
{\displaystyle i=j}
x
j
−
x
f
x
j
−
x
f
=
1
{\displaystyle {\frac {x_{j}-x_{f}}{x_{j}-x_{f}}}=1}
x
j
=
x
f
{\displaystyle x_{j}=x_{f}}
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사용예 [ 편집 ] 탄젠트 함수와 그것의 보간 값이 잘 알려진 주어진 집합 ƒ (x ) = tan(x )를 이용하여 보간 수식을 찾아라:
x
0
=
−
1.5
f
(
x
0
)
=
−
14.1014
x
1
=
−
0.75
f
(
x
1
)
=
−
0.931596
x
2
=
0
f
(
x
2
)
=
0
x
3
=
0.75
f
(
x
3
)
=
0.931596
x
4
=
1.5
f
(
x
4
)
=
14.1014
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=-1.5&&&&&f(x_{0})&=-14.1014\\x_{1}&=-0.75&&&&&f(x_{1})&=-0.931596\\x_{2}&=0&&&&&f(x_{2})&=0\\x_{3}&=0.75&&&&&f(x_{3})&=0.931596\\x_{4}&=1.5&&&&&f(x_{4})&=14.1014\end{aligned}}}
기초 다항식:
ℓ
0
(
x
)
=
x
−
x
1
x
0
−
x
1
⋅
x
−
x
2
x
0
−
x
2
⋅
x
−
x
3
x
0
−
x
3
⋅
x
−
x
4
x
0
−
x
4
=
1
243
x
(
2
x
−
3
)
(
4
x
−
3
)
(
4
x
+
3
)
{\displaystyle \ell _{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}={1 \over 243}x(2x-3)(4x-3)(4x+3)}
ℓ
1
(
x
)
=
x
−
x
0
x
1
−
x
0
⋅
x
−
x
2
x
1
−
x
2
⋅
x
−
x
3
x
1
−
x
3
⋅
x
−
x
4
x
1
−
x
4
=
−
8
243
x
(
2
x
−
3
)
(
2
x
+
3
)
(
4
x
−
3
)
{\displaystyle \ell _{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}={}-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)}
ℓ
2
(
x
)
=
x
−
x
0
x
2
−
x
0
⋅
x
−
x
1
x
2
−
x
1
⋅
x
−
x
3
x
2
−
x
3
⋅
x
−
x
4
x
2
−
x
4
=
3
243
(
2
x
+
3
)
(
4
x
+
3
)
(
4
x
−
3
)
(
2
x
−
3
)
{\displaystyle \ell _{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1}}\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}={3 \over 243}(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)}
ℓ
3
(
x
)
=
x
−
x
0
x
3
−
x
0
⋅
x
−
x
1
x
3
−
x
1
⋅
x
−
x
2
x
3
−
x
2
⋅
x
−
x
4
x
3
−
x
4
=
−
8
243
x
(
2
x
−
3
)
(
2
x
+
3
)
(
4
x
+
3
)
{\displaystyle \ell _{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}=-{8 \over 243}x(2x-3)(2x+3)(4x+3)}
ℓ
4
(
x
)
=
x
−
x
0
x
4
−
x
0
⋅
x
−
x
1
x
4
−
x
1
⋅
x
−
x
2
x
4
−
x
2
⋅
x
−
x
3
x
4
−
x
3
=
1
243
x
(
2
x
+
3
)
(
4
x
−
3
)
(
4
x
+
3
)
{\displaystyle \ell _{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}={1 \over 243}x(2x+3)(4x-3)(4x+3)}
결론, 보간된 다항식
L
(
x
)
=
1
243
(
f
(
x
0
)
x
(
2
x
−
3
)
(
4
x
−
3
)
(
4
x
+
3
)
−
8
f
(
x
1
)
x
(
2
x
−
3
)
(
2
x
+
3
)
(
4
x
−
3
)
+
3
f
(
x
2
)
(
2
x
+
3
)
(
4
x
+
3
)
(
4
x
−
3
)
(
2
x
−
3
)
−
8
f
(
x
3
)
x
(
2
x
−
3
)
(
2
x
+
3
)
(
4
x
+
3
)
+
f
(
x
4
)
x
(
2
x
+
3
)
(
4
x
−
3
)
(
4
x
+
3
)
)
=
4.834848
x
3
−
1.477474
x
{\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&={1 \over 243}{\Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\\&{}\qquad {}+3f(x_{2})(2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+3)\\&{}\qquad {}+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Big )}\\&=4.834848x^{3}-1.477474x\end{aligned}}}
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