미분기하학과 이론물리학에서 디랙 연산자(Dirac演算子, 영어: Dirac operator)는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.[1][2][3][1]:Chapter 3
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 리만 다양체
![{\displaystyle (M,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)
- 매끄러운 벡터 다발
![{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c8ba12449f15e9dc975bf107b2e3fecfb978c7)
위의 코쥘 접속 ![{\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f0fee0bb294ceef12d0ca4f601266145aad9c3)
의 매끄러운 단면
. (흔히
으로 잡는다.)
그렇다면, 라플라스 연산자
![{\displaystyle \Delta =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d9e35251872c754dc420e656b1cd6509f26d72)
및 일반화 라플라스 연산자
![{\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193a76575bd70105544a59d6fa6396b45b7c8185)
를 정의할 수 있다.
이 경우, 디랙 연산자
![{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac1aece2d62e4f1e2baeb299291efaef8068477)
는
![{\displaystyle D^{2}=\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74618b662f41a02abb42aa029b1b147d645e9983)
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.
보다 일반적으로, 디랙형 연산자(Dirac形演算子, 영어: Dirac-type operator) 또는 일반화 디랙 연산자(영어: generalized Dirac operator)
![{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac1aece2d62e4f1e2baeb299291efaef8068477)
는 그 제곱이 라플라스형 연산자가 되는 1차 미분 연산자이다. 즉,
![{\displaystyle D^{2}=\Delta +T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1105496658bd540cb09f082756abce9b8f1cf52a)
를 만족시키는 1차 미분 연산자이다.
등급 디랙 연산자[편집]
클리퍼드 대수는 자연스럽게
-등급 대수를 이룬다.
![{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\oplus \operatorname {Cliff} ^{-}(V,Q;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a2754950da8ed1432c5056a8b406ad7e0e5478)
이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.[1]:116, Definition 3.36
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 리만 다양체
![{\displaystyle (M,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e27d2e539fd0c3a9a7efab6257abd17de7fc57)
- 두 매끄러운 벡터 다발
. 편의상
로 표기하자.
위의 초접속 ![{\displaystyle \nabla \colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1}(M;E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003f9cd5997909a5e5eb0341ac1b9f749c489987)
의 매끄러운 단면
(복부호 동순)
그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자
![{\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193a76575bd70105544a59d6fa6396b45b7c8185)
를 정의할 수 있다.
그렇다면, 등급 디랙 연산자(영어: graded Dirac operator)
(복부호 동순)
는
![{\displaystyle D^{-}D^{+}=\Delta +T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b999d53eec79a2084756b82fdeb144ae59c91c02)
![{\displaystyle D^{+}D^{-}=\Delta +T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf460878e4c7c81bd13d77878ad33431b69faeb5)
를 만족시키는 두 미분 연산자이다.
클리퍼드 가군 다발 접속[편집]
리만 다양체
위의 클리퍼드 가군 다발
위의 코쥘 접속
가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속이라고 하자.
![{\displaystyle \nabla _{X}(a\cdot s)=a\cdot \nabla _{X}s+(\nabla _{X}a)\cdot s\qquad \forall a\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)),\;s\in \Gamma ^{\infty }(E),\;X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a184e9ac32804d5c0f04189e0d66ae3c5f0e51)
여기서
는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속(레비치비타 접속)이다.
마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는,
-등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속으로 정의할 수 있다.
디랙 연산자의 분류[편집]
리만 다양체
위의 매끄러운 벡터 다발
위에 디랙 연산자
가 주어졌을 때,
위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발
의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올
이 클리퍼드 대수
의 왼쪽 가군을 이룬다.[1]:116, Proposition 3.38 구체적으로, 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle D(fs)-f(Ds)=(\mathrm {d} f)\cdot s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df5b22c377bfc4611ac76e184ea267c7beb5ec0)
여기서
는
위의 실수 값 매끄러운 함수이다.
은 그 기울기인 1차 미분 형식이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상
이 존재한다.
은 클리퍼드 대수의 원소의 작용이다.
클리퍼드 다발
의 매끄러운 단면은 벡터장
으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라,
는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.
또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,
- 디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
- 주어진 클리퍼드 가군 다발
+ 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은
꼴의 아핀 공간이다.
- 등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군
-등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
- 주어진 클리퍼드 가군 다발
-등급 다발
+ 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은
꼴의 아핀 공간이다.
곡선 위의 벡터다발[편집]
계량이 주어진 곡선
위의 다발
의 경우, 디랙 연산자는 단순히
![{\displaystyle D=\nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce97f86b6494aebd4e7af49d6efaa074c0e9ae7)
이다.
접다발[편집]
리만 다양체
위의 접다발
에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약
이 스핀 다양체라면, 접다발을 스피너 다발
![{\displaystyle \mathrm {T} M\hookrightarrow \mathrm {S} M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c50c3168cbdcc77a02f028892f31c0d953dec3e)
으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다.
은
차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발
위의 클리퍼드 가군 다발이다. 이 경우 매장
![{\displaystyle \gamma \colon \mathrm {T} M\hookrightarrow \operatorname {Cl} (M,g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7046e248b1875854b7c03c364b84f09a9fb50d44)
![{\displaystyle \gamma \colon v^{i}\mapsto v^{i}\gamma _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92a8075c9e2c4e2edb76a229b2b62974a659682)
이 존재한다.
이 경우 디랙 연산자는
![{\displaystyle D=g^{ij}\gamma _{i}\nabla _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da95515eb3456dff96866e4e1df347aab3e33547)
이다. 즉,
![{\displaystyle D^{2}=\{D,D\}/2={\frac {1}{2}}\{\gamma ^{i}\gamma ^{j}\}\nabla _{i}\nabla _{j}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}=\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73656bbd78b71bafcf158fa6f175bee44e1d1d84)
이다.
만약
이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.
![{\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7611948960f3feb9a1f86765aa0c272767e0f0)
이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.
(복부호 동순)
따라서, 이는
위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.
호지-드람 연산자[편집]
매끄러운 다양체
위의 미분 형식의 다발
![{\displaystyle E=\bigwedge ^{\bullet }\mathrm {T} ^{*}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24e2ce2418e33f00712050b896474903dd01ec1)
을 생각하자. 즉,
![{\displaystyle \Gamma (E)=\Omega (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7fe9f4d127d191559d3adb65cf5494ea226276)
이다. 만약
이 콤팩트 다양체라면, 외미분
![{\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b04faf2a94ee832a7717c9750e4e6f9fb2c6f7)
의 에르미트 수반
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a74ccadc61f5bd9ac92adce5a2f757e157e6563)
을 정의할 수 있다. 그렇다면,
![{\displaystyle (\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}=\{\mathrm {d} ,\mathrm {d} ^{\dagger }\}=\Delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f15d0a9257e935a2f434b16d658f2b910ba5d0c)
이 된다. 여기서
는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자이다. 따라서
![{\displaystyle D=\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3491fb3f634992c53ec6008ef065a8e3d2d1b717)
를 정의하면,
는
위의 디랙 연산자를 이룬다.
최초의 디랙 연산자는 폴 디랙이 양자전기역학을 연구하는 도중 발견하였다.
같이 보기[편집]
- ↑ 가 나 다 라 Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag.
- ↑ Friedrich, Thomas (1997Mathematics). 《Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie》. Advanced Lectures in Mathematics (독일어) 25. Vieweg-Verlag. ISBN 978-3-528-06926-1. ISSN 0932-7134.
- ↑ Esposito, Giampiero (1995). “Dirac operator and eigenvalues in Riemannian geometry” (영어). arXiv:gr-qc/9507046. Bibcode:1995gr.qc.....7046E.
외부 링크[편집]