![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Disambig_grey.svg/23px-Disambig_grey.svg.png)
이 문서는 위상수학에서의 꼬임군(braid group)에 관한 것입니다. 대수학에서 유한 차수의 원소들의 군(torsion group)에 대해서는
꼬임 부분군 문서를 참고하십시오.
위상수학에서 꼬임군(-群, 영어: braid group)은 주어진 개수의 실을 꼬은 모양들로 구성된 군이다. 대칭군의 일반화로 볼 수 있다.
n가닥의 꼬임군
은 다음과 같은 표시를 갖는 유한생성군이다. 꼬임군의 원소들을 꼬임(영어: braid)이라고 한다.
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (n)=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f64c4d398ff89a47d4a38691c35905ee3157d70)
첫 번째 관계에서는
이고, 두 번째 관계에서는
이다.
이는 다음과 같이 해석할 수 있다.
를
번째 가닥과
번째 가닥을 한 번 꼬는 것으로 정의하자. 예를 들어,
의 생성원은 다음과 같다.
이 경우 군 연산은 꼬임들을 서로 연결하는 연산이다.
|
·
|
|
=
|
|
![{\displaystyle \sigma _{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf20b7f333612db2c9f52e80f1b27eceb39e3e42) |
· |
![{\displaystyle \sigma _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4b9cd9efc54bcfd04e0a2231913c13f10798d9) |
= |
|
이 경우, 군 표시에서의 관계
![{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a2394fef2bf43989a132f985bb87e089874cd7)
![{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (|i-j|\geq 2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50eeca2d119a845ead3f8f74de6b30e0c55aee8)
는 꼬임의 합성의 호모토피적 동치 관계이다.
무한 꼬임군[편집]
꼬임군 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (n)\hookrightarrow \operatorname {Braid} (n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611bc1c5220db0d9fae6b8f8ca2ae3bc5c01920e)
![{\displaystyle \sigma _{i}^{(n)}\mapsto \sigma _{i}^{(n+1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b666194ae9d365591ba8eeb1db892188af30e7a)
이렇게 하여, 귀납적 극한을 취하면 무한 꼬임군
을 얻는다.
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (\infty )=\varinjlim _{n}\operatorname {Braid} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe8a747fdb27ba34503031e9010554b2d6457a0)
드오르누아 순서[편집]
꼬임군
위에는 드오르누아 순서(영어: Dehornoy order)라는 전순서가 존재하며, 이는 군의 왼쪽 작용에 대하여 불변이다. 구체적으로, 드오르누아 순서에 대하여 양인 원소들은
들 및 이들의 역원의 곱인 문자열로 나타내었을 때, 적어도 한
가 다음 세 조건을 모두 만족시키는 것이다.
- 문자열은
를 포함한다.
- 모든
에 대하여, 문자열은
를 포함하지 않는다.
- 모든
에 대하여, 문자열은
를 포함하지 않는다.
이러한 원소들의 집합을
라고 하면,
이며, 꼬임군은
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (n)=P\sqcup P^{-1}\sqcup \{1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a020c8a0a53d737229bb63e05681b61f39128d68)
이다.
꼬임군의 모든 원소는 항등원이 아니라면 무한한 차수를 갖는다. 모든
에 대하여,
은 두 개의 원소로 생성되는 자유군을 부분군으로 갖는다.
꼬임군의 아벨화는 무한 순환군이다.
![{\displaystyle \operatorname {H} _{1}(\operatorname {Braid} (n),\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa91d297b29ab09753c71f7fb1baeb4cf74297f)
구체적으로, 이는 다음과 같다.
![{\displaystyle \sigma _{i}\mapsto 1\qquad (i=1,\dots ,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab4881e745550c0e856ceadf00be6d45bb0d442)
![{\displaystyle \sigma _{i}^{-1}\mapsto -1\qquad (i=1,\dots ,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2fc82901747cd93635223606d8887a75f3f39e)
꼬임군은 대칭군을 다음과 같이 몫군으로 갖는다.
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {Sym} (n)=\operatorname {Sym} (\{1,2,\dots ,n\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997235070e31e1ba5650654d834fe3e7e01f5294)
![{\displaystyle \sigma _{i}\mapsto (i,i+1)\qquad (i=1,\dots ,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e4d9d1e93c91c7442528adfeb15217569c98fe)
![{\displaystyle \sigma _{i}^{-1}\mapsto (i,i+1)\qquad (i=1,\dots ,n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eccf5eb3cf18ca5e36ccc34358191be06ff7f30)
일 때, 꼬임군
의 중심은 다음과 같은 원소로 생성되는 무한 순환군이다.[1]:§4.3
![{\displaystyle \left(\sigma _{1}(\sigma _{2}\sigma _{1})\cdots (\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\cdots \sigma _{1})\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef78e70f48a4e957462ba11777047f53c99c9102)
일 경우, 꼬임군은 아벨 군이므로 군 전체가 중심이다.
낮은 차수의 꼬임군은 다음과 같다.
꼬임군 |
동형인 군
|
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3223ab89049c24f0272220229a5c21dbc3f96c3b) |
자명군
|
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0445de27afd93ab2097f16fc310e595ac5951d09) |
자명군
|
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6134d42bbebef129474287c595691407f90122df) |
무한 순환군
|
![{\displaystyle \operatorname {Braid} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcb00893375487a2f0182d513e40903b2255678) |
세잎매듭의 매듭군 , 모듈러 군의 중심 확대
|
3차 꼬임군[편집]
3가닥의 꼬임군
은 가장 낮은 가닥수의 비가환 꼬임군이다. 이 군은 세잎매듭 31의 매듭군
과 동형이며, 또 모듈러 군
의 중심 확대이다. 이 경우 다음과 같은 가환그림이 존재한다.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Braid-modular-group-cover.svg/376px-Braid-modular-group-cover.svg.png)
여기서
은
의 범피복군이다. 모듈러 군은 중심이 없으므로, 따라서 모듈러 군은
의 그 중심에 대한 몫군과 동형이다.
![{\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )=\operatorname {Braid} (n)/\operatorname {Z} (\operatorname {Braid} (n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87fbc78fca7e27399460ccd7249879a3b63c68c2)
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]