복소해석학에서, 고립 특이점(孤立特異點, 영어: isolated singular point)은 주어진 함수가 스스로를 제외한 주위의 모든 점에서 복소숫값의 정칙 함수가 되는 특이점이다.
연결 열린집합
및 점
및 함수
에 대하여,
가 정칙 함수가 되는 근방
이 존재한다면,
을
의 고립 특이점이라고 한다.
만약 0이
의 고립 특이점이라면, 무한대
를
의 고립 특이점이라고 한다.
고립 특이점은 제거 가능 특이점, 극점, 본질적 특이점으로 분류된다.
구체적으로, 연결 열린집합
및 점
및 함수
가 주어졌고,
이
의 고립 특이점이라고 하자.
제거 가능 특이점[편집]
그렇다면, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
을
의 제거 가능 특이점이라고 한다.[1]:130, §4.2, 정리1
는
에서 해석적 연속을 갖는다. 즉,
인 근방
및 정칙 함수
가 존재한다.
는
에서 존재한다.
는
에서 국소 유계 함수이다. 즉,
가 유계 함수가 되는 근방
이 존재한다.
![{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5553b3067ec7848e77a6cd51ba31656081a4428e)
의
에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분은 0이다.
또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
을
의 극점이라고 한다.[1]:130-131, §4.2, 정리2
는
에서 해석적 연속을 갖지 않으며,
는
에서 해석적 연속을 갖는다.
![{\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)={\widehat {\infty }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36adba4934a56b40d7ee9b16b9eae86c44da6393)
의
에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 적어도 하나이며, 많아야 유한하다.
본질적 특이점[편집]
또한, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
을
의 본질적 특이점이라고 한다.[1]:132, §4.2, 정리3
와
는
에서 해석적 연속을 갖지 않는다.
는
에서 존재하지 않는다.
의
에서의 로랑 급수 전개의 주요 부분의 0이 아닌 계수의 개수는 무한하다.
무한대의 경우[편집]
무한대
의
의 고립 특이점으로서의 분류는 0의
의 고립 특이점으로서의 분류와 일치한다.
함수
![{\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ebe8eccc9d01e9522263a9a1a0ebe4ddd7f10c7)
![{\displaystyle f_{1}(z)={\frac {\sin z}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed327485adfa344245d0e7edaa059e0fea5660e)
는 0을 제거 가능 특이점으로 갖는다.
함수
![{\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5bad0bb47c2068d8e5d9afadcac284a449505bb)
![{\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2dce2fc7d1f76b04cf8410c99de5722e8990b7)
는 0을 극점으로 갖는다.
함수
![{\displaystyle f_{3}\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5c5bfa264d6c89515c49f8e98ac99dd4256272)
![{\displaystyle f_{3}(z)=e^{1/z}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db891e566ccc25dad6eb1edad887725bc52a2b8)
는 0을 본질적 특이점으로 갖는다.
0은 함수
![{\displaystyle f_{4}\colon \mathbb {C} \setminus \{0,1/\pi ,1/2\pi ,\dots \}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3df3128e8b8df362012caa30e45c5e6260479ca)
![{\displaystyle f_{4}(z)=\csc {\frac {1}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1/\pi ,1/2\pi ,\dots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044d420e44ca8070d76c361895fe33d183b6147a)
의 고립 특이점이 아니다.
전해석 함수[편집]
모든 전해석 함수
는
를 고립 특이점으로 갖는다. 이는
가 상수 함수라면 제거 가능 특이점이며,
가 1차 이상의 다항 함수라면 극점이며, 초월 전해석 함수라면 본질적 특이점이다.
외부 링크[편집]