거울 대칭 가설

거울 대칭 가설(Mirror symmetry conjecture)은 특정 칼라비-야우 다양체와 그 다양체의 "거울 다양체"사이의 관계에 대한 추측이다. 이 추측으로 칼라비-야우 다양체 상의 유리 곡선의 수를 대수다형체(algebraic variety) 족에서 적분과 관련시킬 수 있다. 거울 대칭 가설을 다루는 몇 가지 관점이 있으며, 대표적으로 호몰로지 거울 대칭 가설과 SYZ 가설이 있다. 호몰로지 거울 대칭 가설은 호몰로지 대수학을 기반으로 삼는 반면, SYZ 추측은 더욱 기하학적인 서술이다.

5차 삼중체를 구성하기[편집]

처음에 거울 대칭 다양체를 구성하는 과정은 다소 엉성하였다. 본질적으로 일반 5차 삼중체 $X\subset \mathbb {CP} ^{4}$ 에 대하여 다중 특이점을 가진 1-매개변수 칼라비-야우 다양체 족 $X_{\psi }$ 이 존재해야 한다. 여기서 이 특이점들을 부풀리기 한 후 특이점을이 없어지며 뒤집힌 호지 다이아몬드를 가진 새로운 칼라비-야우 다양체 $X^{\vee }$ 가 구성된다. 특히, 다음과 같은 동형사상들이 존재한다: $H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\cong H^{q}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{3-p}).$

복소 모듈라이[편집]

일반 5차 삼중체^[1]^[2] $X\subset \mathbb {P} ^{4}$ 이 5차 동차 다항식으로 정의됨을 기억하라. 이 다항식은 선형 다발 $f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))$ ^[3]^[4]의 global section으로도 묘사된다. 대역 단면의 선형 공간 차원은 $\dim {\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}=126$ 이다. 이 다항식들은 두 가지 동등성을 가진다: 첫째, 대수적 토러스 $\mathbb {G} _{m}$ 로 스케일링하는 다항식^[5]. 둘째, 사영적 동등성은 $24$ 차원인 $\mathbb {P} ^{4}$ 의 자기동형군 ${\text{PGL}}(5)$ 에 의해 주어진다. $126-24-1=101$ 이므로 이것은 기하 불변 이론을 사용하여 구성 할 수 있는 $101$ 차원 매개 변수 공간 $U_{\text{smooth}}\subset \mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5)))/PGL(5)$ 을 준다. 집합 $U_{\text{smooth}}$ 은 $\mathbb {P} ^{4}$ 안의 매끄러운 칼라비-야우 5차 삼중체를 정의하는 다항식들의 동치류들에 해당한다.^[6] 이제 세르 쌍대성과 각 칼라비-야우 다양체에 자명한 표준 선다발 $\omega _{X}$ 이 있다는 사실을 이용하여, deformation 공간에는 다음과 같은 동형사상: $H^{1}(X,T_{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})$ 과 $H^{3}(X)$ 위의 호지 구조의 $(2,1)$ 부분을 가진다. 렙셰츠 초평면 정리를 이용하면, 유일한 자명하지 않은 코호몰로지 군은 $H^{3}(X)$ 이다. 왜냐하면 다른 것들은 $H^{i}(\mathbb {P} ^{4})$ 와 동형이기 때문이다.오일러 지표와 top 천 특성류인 오일러 특성류를 사용하면 이 군의 차원은 $204$ 이다. 이는

${\begin{aligned}\chi (X)&=-200\\&=h^{0}+h^{2}-h^{3}+h^{4}+h^{6}\\&=1+1-\dim H^{3}(X)+1+1\end{aligned}}$

이기 때문이다. 호지 구조를 이용하여 각 구성 요소의 차원을 구할 수 있다. 첫째, $X$ 가 칼라비-야우이므로, . $\omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}$ 이다. 그래서 $H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 가 호지 번호 $h^{0,3}=h^{3,0}=1$ 를 알 수 있다. 즉, $\dim H^{2}(X,\Omega _{X})=h^{1,2}=101$ 은 칼라비-야우 다양체의 모듈라이 공간의 차원이다. Bogomolev-Tian-Todorov 정리로 인해 이러한 모든 deformation들이 방해받지 않으므로 매끄러운 공간 $U_{\text{smooth}}$ 은 사실 5차 삼중체의 모듈라이 공간다. 이 구성의 요점은, 이 모듈라이 공간의 복소 매개 변수가 어떻게 거울 다양체의 켈러 매개 변수로 변환되는지 보여주는 것이다.

거울 다양체[편집]

Dwork 족이라 불리는 칼라비-야우 다양체 $X_{\psi }$ 들의 다양체 족은 다음과 같은 ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [\psi ])$ 위의 사영족 $X_{\psi }$

$X_{\psi }={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [\psi ][x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\right)$

이다. 이 다양체 족의 complex deformation의 차원은 하나뿐이며 거울 다양체 ${\check {X}}$ 의 호지 다이아몬드가 다음과 같이 때문이다:

$\dim H^{2,1}({\check {X}})=1$ .

다양체 족 $\{X_{\psi }\}$ 는

$(a_{0},\ldots ,a_{4})\cdot [x_{0}:\cdots :x_{4}]=[e^{a_{0}\cdot 2\pi i/5}x_{0}:\cdots :e^{a_{4}\cdot 2\pi i/5}x_{4}]$

과 같이 작용하는 대칭군

$G=\{(a_{0},\ldots ,a_{4})\in (\mathbb {Z} /5)^{5}:\sum a_{i}=0\}$

을 가지고 있다. 조건

$\sum a_{i}=0$

는 $X_{\psi }$ 의 사영성 때문에 들어가있다. 연관된 몫 variety $X_{\psi }/G$ 는 $100$ 개의 특이점을 부풀리기 해서 주어지는 crepant resolution^[1]^[4]

${\check {X}}\to X_{\psi }/G$

를 가지고 있고 이를 통해 새로운 칼라비-야우 다양체 ${\check {X}}$ 를 얻는다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

↑ ^가 ^나 Auroux, Dennis. “The Quintic 3-fold and Its Mirror” (PDF).
↑ for example, as a set, a Calabi-Yau manifold is the subset of complex projective space $\{[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=0\}$
↑ Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991년 7월 29일). “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN 0550-3213.
↑ ^가 ^나 Morrison, David R. (1993). “Mirror symmetry and rational curves on quintic threefolds: a guide for mathematicians”. 《J. Amer. Math. Soc.》 6: 223–247. arXiv:alg-geom/9202004. doi:10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2.
↑ Which can be thought of as the $\mathbb {C} ^{*}$ -action on $\mathbb {C} ^{5}-\{0\}$ constructing the complex projective space $\mathbb {CP} ^{4}$
↑ More generally, such moduli spaces are constructed using projective equivalence of schemes in a fixed projective space on a fixed Hilbert scheme

책 / 노트[편집]

초창기 증명들[편집]

Equivariant Gromov-Witten Invariants- projective complete intersections에 대한 Givental의 원래 증명
The mirror formula for quintic threefolds
Rational curves on hypersurfaces (after A. Givental) -Givental의 증명에 대한 설명
Mirror Principle I -Lian, Liu, Yau의 증명은 Givental의 증명에서 미완인 부분을 완성한다. 이 증명에는 당시 알려지지 않은 플뢰어 호몰로지에 대한 이론이 필요했다.
Dual Polyhedra and Mirror Symmetry for Calabi-Yau Hypersurfaces in Toric Varieties - 칼라비-야우 다양체에 대한 최초의 일반적인 mirror variety 구성

연구[편집]

Mirror symmetry: from categories to curve counts -호몰로지 거울 대칭과 고전적 거울 대칭 간의 관계
Intrinsic mirror symmetry and punctured Gromov-Witten invariants

호몰로지 거울 대칭[편집]

외부 링크[편집]

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/

[:3-1] 가 ^나 Auroux, Dennis. “The Quintic 3-fold and Its Mirror” (PDF).

[2] r example, as a set, a Calabi-Yau manifold is the subset of complex projective space $\{[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=0\}$

[:0-3] Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991년 7월 29일). “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN 0550-3213.

[:2-4] 가 ^나 Morrison, David R. (1993). “Mirror symmetry and rational curves on quintic threefolds: a guide for mathematicians”. 《J. Amer. Math. Soc.》 6: 223–247. arXiv:alg-geom/9202004. doi:10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2.

[5] Which can be thought of as the $\mathbb {C} ^{*}$ -action on $\mathbb {C} ^{5}-\{0\}$ constructing the complex projective space $\mathbb {CP} ^{4}$

[6] More generally, such moduli spaces are constructed using projective equivalence of schemes in a fixed projective space on a fixed Hilbert scheme

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]