가중 사영 공간

대수기하학에서 가중 사영 공간(加重射影空間, 영어: weighted projective space)은 사영 공간의 개념의 일반화이다. 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 양의 정수 $a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n}\in \mathbb {Z} ^{+}$

그렇다면, 등급환인 가환환

$A=K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$

$\deg x_{i}=a_{i}$

을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼

$\operatorname {Proj} A=\mathbb {P} _{K}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})$

을 무게 $(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})$의 가중 사영 공간이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과 $K$의 곱이다.

$\mathbb {P} _{K}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})\times K$

즉, 만약 $K$가 체일 때, $K^{\times }$는 $\operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]\setminus \operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]/(x_{0},\dotsc ,x_{n})$에 고정점 없이 다음과 같이 작용한다.

$\lambda \cdot x_{i}=\lambda ^{a_{i}}x_{i}$

따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다.

$\mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{n})={\frac {\operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]\setminus \operatorname {Spec} K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]/(x_{0},\dotsc ,x_{n})}{\mathbb {G} _{\mathrm {m} }^{K}}}$

그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.

${\frac {\{(x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n})\in K^{n+1}\}\setminus \{(0,\dotsc ,0)\}}{(x_{0},\dotsc ,x_{n})\sim (\lambda ^{a_{0}}x_{0},\dotsc ,\lambda ^{a_{0}}x_{n})\qquad \forall \lambda \in K^{\times }}}$

분류

$K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자.

임의의 양의 정수 $b\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 $i\in \{0,1,\dotsc ,n\}$에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다.

$\mathbb {P} (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})\cong \mathbb {P} (da_{0},da_{1},\dotsc ,da_{i-1},a_{i},da_{i+1},\dotsc ,da_{n})\cong \mathbb {P} (da_{0},da_{1},\dotsc ,da_{i},\dotsc ,da_{n})$

무게 $(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 잘 만들어진 무게(영어: well formed weights)라고 하자.

임의의 $n$개의 성분들의 최대공약수는 1이다. 즉, 임의의 $i\in \{0,1,\dotsc ,n\}$에 대하여, $\gcd\{a_{0},\dotsc ,{\widehat {a_{i}}},\dotsc ,a_{n}\}=1$. (여기서 ${\widehat {a_{i}}}$는 $a_{i}$를 생략하라는 뜻이다.)

따라서, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.

성질

정의에 따라, 가중 사영 공간은 원환 다양체이다. 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 가중 사영 공간은 $K$ 위의 사영 대수다양체를 이룬다.^{:Theorem 4.3.9}

아핀 덮개

가환환 $K$에 대하여, 가중 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{i})$는 다음과 같이 $n+1$개의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 각 $i\in \{0,\dotsc ,n\}$에 대하여, $x_{i}$로 정의되는 열린집합

$U_{i}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}(a_{0},\dotsc ,a_{n})\colon (x_{i})\not \subseteq {\mathfrak {p}}\}$

은 아핀 스킴이다.

특히, $K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, $U_{i}$에 대응되는 가환환은 다음과 같다.

$A_{i}=K[x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n}]/\mu _{a_{i}}$

여기서 $\mu _{a_{i}}=\{\lambda \in K^{\times }\colon \lambda ^{a_{i}}=1\}$는 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군이며, 그 작용은

$\lambda \cdot x_{j}=\lambda ^{a_{j}}x_{j}$

이다. 구체적으로, 이 작용은 고정점을 갖지 않으므로, 이 몫은 기하 불변량 이론 몫(영어: GIT quotient)

$A_{i}=\operatorname {Spec} \left(K[x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n}]^{\mu _{a_{i}}}\right)$

이다. 여기서 $R^{G}$는 $G$의 작용에 불변인 $R$의 원소들의 부분환이다.

이 경우, 만약 $(a_{0},\dotsc ,{\hat {a}}_{i},\dotsc ,a_{n})\neq (1,\dotsc ,1)$인 경우, 이는 원점 $(x_{0},\dotsc ,{\hat {x}}_{i},\dotsc ,x_{n})=(0,\dotsc ,0)$에서 특이점을 갖는다.

예

만약 모든 무게들이 1이라면, 무게 사영 공간은 (일반) 사영 공간과 같다.

$\mathbb {P} _{K}(\underbrace {1,1,\dotsc ,1} _{n+1})=\mathbb {P} _{K}^{n}$

0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

$\mathbb {P} _{K}(n)\cong \mathbb {P} _{K}^{0}=\operatorname {Spec} K$

1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

$\mathbb {P} _{K}(m,n)\cong \mathbb {P} _{K}(m,1)\cong \mathbb {P} _{K}(1,1)=\mathbb {P} _{K}^{2}$

ℙ(1,1,n)

2차원에서는 사영 공간과 동형이 아닌 가중 사영 공간이 존재한다. 그 가운데 가장 간단한 것은 $\mathbb {P} _{K}(1,1,n)$이다. 이는 닫힌 몰입

$\mathbb {P} _{K}(1,1,n)\to \mathbb {P} _{K}^{n+1}$

$[x:y:z]\mapsto [x^{n}:x^{n-1}y:y^{n-2}y^{2}:\dotsb :x^{k}y^{n-k}:\dotsb :y^{n}:z]$

을 가지며, 이는 사영 대수다양체

$\mathbb {P} _{K}(1,1,n)\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X_{0},X_{1},\dotsc ,X_{n},Y]}{(\{X_{i-1}X_{j}-X_{i}X_{j-1}\colon i,j\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\})}}$

를 이룬다. 이는 좌표 $Y$에 의존하지 않으므로, 유리 곡선 $\operatorname {Proj} K[X_{0},\dotsc ,X_{n}]/(\{X_{i-1}X_{j}-X_{i}X_{j-1}\colon i,j\in \{0,1,\dotsc ,n-1\}\})$ 위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은 $[0:0:\dotsb :0:1]$이다.

예를 들어, $n=2$인 경우

$\mathbb {P} _{K}(1,1,2)\to \mathbb {P} _{K}^{3}$

$[x:y:z]\mapsto [x^{2}:xy:y^{2}:z]$

이며, 이는 다음과 같은 사영 대수다양체와 동형이다.

$\mathbb {P} _{K}(1,1,2)\cong \operatorname {Proj} {\frac {K[X,Y,Z,W]}{(XZ-Y^{2})}}$

이는 3차원 사영 공간 속의 이차 초곡면이다.

ℙ(1,2,3,…)

가환환 $K$에 대하여, 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$를 생각하자. 그 위에는 대칭군 $\operatorname {Sym} (n+1)$이 좌표 $(x_{0},\dotsc ,x_{n})$에 대한 순열로 작용한다. 이에 대한 기하 불변량 이론 몫

$\mathbb {P} _{K}^{n}/\operatorname {Sym} (n+1)=\operatorname {Proj} (K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)})$

을 생각하자. 이 경우, $K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)}$은 다음과 같은 기초 대칭 함수로 생성된다.

$X_{1}=x_{0}+x_{1}+\dotsb +x_{n}$

$X_{2}=x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+\dotsb +x_{i}x_{j}+\dotsb +x_{n-1}x_{n}$

$\vdots$

$X_{n+1}=x_{0}x_{1}\dotsm x_{n}$

$\deg X_{i}=i\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n+1\})$

따라서 이는 가중 사영 공간

$\mathbb {P} _{K}^{n}/\operatorname {Sym} (n+1)=\operatorname {Proj} (K[x_{0},\dotsc ,x_{n}]^{\operatorname {Sym} (n+1)})=\mathbb {P} _{K}(1,2,\dotsc ,n,n+1)$

을 이룬다.

역사

이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름(프랑스어: Charles Delorme)이 ‘비등방 사영 공간’(프랑스어: espace projectif anisotrope)이라는 이름으로 연구하였다.

외부 링크

• Reid, Miles (2002). “Graded rings and varieties in weighted projective space” (PDF) (영어). 
• Iano-Fletcher, A. R. “Working with weighted complete intresections” (영어).