이차 형식 이론에서, 가우스 합성(Gauß合成, 영어: Gauss composition)은 2항 이차 형식의 동치류 집합에 정의될 수 있는 아벨 군 구조이다.
이차 형식[편집]
가환환
위의 2차 자유 가군
위의 두 이차 형식
![{\displaystyle Q,Q'\colon R^{2}\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb576b23d4347314584f5180d57a998d1ad3bb8c)
이 다음 조건을 만족시킨다면 서로 동치라고 하자.
![{\displaystyle Q\sim Q'\iff \exists M\in \operatorname {GL} (2;R),r\in R^{\times }=\operatorname {GL} (1;R)\colon rQ(M(-))=Q'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecc2985d80f6698b799bec50dc57a3e7f5525e4)
이에 따라, 이차 형식은 사실 임의의 1차
-자유 가군
의 값을 갖는 함수
![{\displaystyle Q\colon V\to L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e1f49397e9b2a234e23e4daf40a3581130c8ac)
로 생각할 수 있다. 이와 같은 함수들의 공간은
![{\displaystyle Q\in \operatorname {Sym} _{R}^{2}V^{*}\otimes _{R}L=L\otimes _{R}{\frac {V^{*}\otimes _{R}V^{*}}{(u\otimes _{R}v-v\otimes _{R}u)_{u,v\in V^{*}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952ce76b91b0498d21b84dfe9a49cfd94e94cdbd)
이다.
보다 일반적으로, 임의의 스킴
위의 계수 2의
-국소 자유 가군층
및
-가역 가군층
이 주어졌을 때,
위의
값의 이차 형식
![{\displaystyle Q\in \Gamma (X;\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0997ffdecbf6f26201aaae529947b83fb1de3af5)
은
-가군층
의 단면이다.
판별식[편집]
만약
가 국소환일 경우, 그 위의 2차 자유 가군
위의 이차 형식
![{\displaystyle Q\colon R^{2}\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37492b457ad2d975e322c4340951e266fead5981)
![{\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fc79a36f1a914bdfa31ddccc10e98d4dae926f)
의 판별식은
이다.
보다 일반적으로, 스킴
위의, 2차
-국소 자유 가군층
위의,
-가역층
값의 이차 형식
![{\displaystyle Q\in \Gamma (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(M^{*})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da20428f890ee93b92884f2853674873ced3a126)
의 판별식
는 국소적으로 위와 같이 주어지며, 대역적으로 이는 다음과 같은
-가역층의 대역적 단면을 이룬다.
![{\displaystyle \operatorname {Disc} (Q)\in \Gamma \left(X;\left(\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}^{2}(M^{*})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}\right)^{\otimes 2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79a91447bd0c69641725272dc33098d9606e8f5)
이차 대수[편집]
가환환
위의 이차 대수(영어: quadratic algebra)
는 다음과 같은 가환
-결합 대수이다.
- 임의의 소 아이디얼
에 대하여
는 2차
-자유 가군이다. (즉,
는 계수 2의
-평탄 가군이다.)
위의 이차 대수
위의 가군
이 다음 조건을 만족시킨다면, 대각합 가능 가군(영어: traceable module)이라고 한다.
은
위의 계수 2의 평탄 가군이다.
- 임의의 원소
에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{A/R}\colon A\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d658d80274f6f77907606b02127e526656c1c8)
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{A/R}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{R}(a\cdot \colon A\to A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e385b1c37ef3ef0389074cef3a7cb4221acd0ac7)
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{M/R}\colon A\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf9d0fc1ed3d13b0e1258e2af4c6c943bda3ba2)
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{M/R}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{R}(a\cdot \colon M\to M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbf0a14e444afa6d5225f7cddbaa5f751865e1)
보다 일반적으로, 임의의 스킴
위의 이차 대수층은
-가환 대수층 가운데 2차
-국소 자유 가군층을 이루는 것이다. 이차 대수층
위의 대각합 가능 가군층
은
-가군층 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
-가군층으로서 계수 2의 국소 자유 가군층이다.
- 임의의 열린집합
의 단면
에 대하여, 다음 두 함수가 일치한다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon \Gamma (U;{\mathcal {A}})\to \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7d795dd2f067a88e756787258cd272e8d43db3)
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}(a\cdot \colon A\to A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9f7347ab79207419deb466509e18357bd6c488)
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon A\to R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c86a0b5d97c801613763fd80527874061f33c96)
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {M}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon a\mapsto \operatorname {tr} _{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})}(a\cdot \colon M\to M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22747491a8b7e3e088f1d02c13591c829244187)
두
-가군
이 주어졌을 때, 텐서곱
을 정의할 수 있으므로,
-가군들의 동형류들은 가환 모노이드를 이룬다.
-가역 가군 (즉, 1차원 자유 가군)의 경우, 이는 아벨 군을 이룬다.
판별식[편집]
스킴
위의 이차 대수층
위의 대각합 가능 가군층
의 판별식은 대각합 사상
![{\displaystyle \operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {O}}_{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d0466f20d5e4cbe8737ae69f5a2604a5098eda)
의 행렬식
![{\displaystyle \operatorname {Disc} ({\mathcal {A}},{\mathcal {M}})=\det \left(\operatorname {tr} _{{\mathcal {A}}/{\mathcal {O}}_{X}}\right)\in \Gamma \left(X;\left(\bigwedge ^{2}{\mathcal {A}}\right)^{\otimes (-2)}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fb113dfd7acb49bc131dc4eed60a998a8421db)
이다. 이는
-가역층
의 대역적 단면이다.
가우스 합성[편집]
임의의 가환환
및 그 위의 2차 자유 가군
에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
위의 이차 형식들
의 동치류들의 집합
위의 이차 대수
와 그 위의 대각합 가능 가군
들의 동치류들의 집합
구체적으로,
이 주어졌을 때, 다음과 같은 자연스러운
-가군 준동형을 생각하자.
![{\displaystyle (A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807109b2fa602fc4bf64fedf0ce94ad8c181d618)
![{\displaystyle (a+R)\otimes _{R}(m\wedge _{R}m')\mapsto (am)\otimes _{R}m'-m\otimes _{R}(am')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b034cce67ae6e467e3ad795646aad67da8327b82)
이는
-가군
![{\displaystyle \left((A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)\right)^{*}\otimes _{R}\operatorname {Sym} ^{2}(M;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da46f93f5d6028c578eeb5ce1f2acfdaa977a8c)
의 원소를 정의하며, 이는
위에 정의된,
![{\displaystyle L=\left((A/R)\otimes _{R}\bigwedge ^{2}(M;R)\to \operatorname {Sym} ^{2}(M;R)\right)^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231e132e35c523bbc49d79b070a39332e97e2e9a)
값의 이차 형식을 이룬다.
또한, 이 대응성은 판별식을 보존한다. 이차 형식
가 원시 이차 형식(영어: primitive quadratic form)인 것은
이
-가역층을 이루는 것과 같으며, 따라서 주어진 판별식의 원시 이차 형식들은 텐서곱에 따라 아벨 군을 이룬다. 이를 가우스 합성이라고 한다.
정수환의 경우[편집]
위의 이차 형식의
-동치류는 다음과 같은 구조와 대응한다.
- 2차
-환
. 이는 그 판별식
으로부터 다음과 같이 결정된다.
![{\displaystyle A_{D}={\begin{cases}\mathbb {Z} [t]/(t^{2})&D=0\\\mathbb {Z} \cdot (1,1)+{\sqrt {D}}(\mathbb {Z} ^{2})&{\sqrt {D}}\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\\\mathbb {Z} \left[{\frac {D+{\sqrt {D}}}{2}}\right]&{\sqrt {D}}\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a21b342e38b5d506bcda984285469dad22b73cc4)
-가군
가운데 아벨 군으로서
이며,
가
가 같은 것 (둘째 조건은
이
-아이디얼일 경우 자동적으로 충족된다).
특히,
일 때,
은 항상
의 아이디얼과 동형이다. 그러나
일 경우 일반적으로
은 아이디얼로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 값이 0인 상수 이차 형식의 경우
이며
,
이다.
위의 이차 형식의
-동치류를 분류하려면,
및
의 방향
을 사용하여야 한다.[1]
정역의 경우[편집]
가환환
가 정역일 때,
계수의 비퇴화 2항 이차 형식의 경우, 이에 대응하는 이차 대수
및
-가군
에 대하여,
은 항상
의 아이디얼과 동형이다. 따라서, 이 경우 가군 대신 아이디얼들의 유군을 사용할 수 있다.
카를 프리드리히 가우스가 1801년에 도입하였다.[2] 가우스는 정수 계수 2항 이차 형식에 대하여 연구하였으나, 이는 그 뒤 임의의 가환환 계수[3] 및 스킴 계수[4]의 2항 이차 형식에 대하여 일반화되었다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]