감쇠비(減衰比, damping ratio)는 보통 ζ (제타)로 표시되는 이계 상미분 방정식의 주파수 응답 특성을 나타내는 값이다.
질량 m, 감쇠계수 c, 강성 k인 감쇠조화진동계의 감쇠비는 다음과 같다.
![{\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}={\frac {c}{2m\omega _{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e75ce84f0651e0dbc732279fb027d75a2fa8b3)
미분방정식에서 감쇠비의 의미[편집]
감쇠조화진동의 지배방정식은 다음과 같다.
이것을
항의 계수
으로 나머지 항들을 나누고,
계속해서,
고유진동수
와 감쇠비
를 도입하고, 소멸미분연산자(Annihilated Differential Operator)를 대입하면,
로 가정하면,
![{\displaystyle s^{2}e^{sx}+{c \over m}se^{sx}+{k \over m}e^{sx}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3714546d5237eec17373b80f1f9885035309e96)
![{\displaystyle e^{sx}(s^{2}+{c \over m}s+{k \over m})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728b38e338c4a104ef52d177fa38238870b5f125)
따라서, 특성방정식은 다음과 같다.
![{\displaystyle s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5705287234573c8b5182f5985c235c6874a2619)
의 해를 찾으려면 2차 방정식에 근의 공식을 대입하면,
![{\displaystyle s={\frac {-2\zeta \omega _{n}\pm {\sqrt {(2\zeta \omega _{n})^{2}-4\omega _{n}^{2}}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1278374db58c56783aa7b7691b216c18bb4c5967)
![{\displaystyle s=-\zeta \omega _{n}\pm {\frac {\sqrt {2^{2}\zeta ^{2}\omega _{n}^{2}-2^{2}\omega _{n}^{2}}}{\sqrt {2^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab7d875093314d54cdc6fb9030a8d061ecc3855)
이를 정리하면,
![{\displaystyle s=-\zeta \omega _{n}\pm \omega _{n}{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694955b37ff737a0e9725d6a43830e10cdb761c1)
과감쇠(과도감쇠)[편집]
특성방정식이 두 개의 실근이 있을 때를 과(도)감쇠(overdamped)라고 하며, 이때 응답은 지수로 감소하며, 진동은 발생하지 않는다.
![{\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[Ae^{{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\omega _{n}t}+Be^{-{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\omega _{n}t}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba947fabb0b3c3cd7a008ad2bd6f8938dad5e24)
여기서 A와 B는 초기조건에서 결정되는 상수이다.
임계감쇠[편집]
임계감쇠(critically damped)는 감쇠비
인 경우로 특성방정식은 하나의 실근(중근)을 가지며, 과감쇠와 저감쇠의 경계가 된다. 과감쇠와 마찬가지로 응답이 지수로 감소하며, 진동이 발생하지 않는다.
초기조건
,
을 갖는 임계감쇠일 땐 미분방정식의 해는 다음과 같다.
![{\displaystyle x(t)=e^{-\omega _{n}t}\left[x_{0}+t^{2}+{\dot {x}}_{0}t\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d50ba1f96397c4f2d8ac7848bf2e85e900a9d3d)
저감쇠(과소감쇠)[편집]
특성방정식이 두 개의 허근을 갖는 경우를 저감쇠(과소감쇠)(underdamped)라고 하며, 이 때는 진동이 발생한다. 즉, 응답은 지수로 감소함과 동시에 진동을 한다....
초기조건
,
에 해는,
![{\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[x_{0}\cos {\omega _{D}t}+{\frac {{\dot {x}}_{0}+\zeta \omega _{n}x_{0}}{\omega _{D}}}\sin {\omega _{D}t}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a80cd3e1f00a73ee4e3d93197643b1465a03b598)
여기서 감쇠진동수 ωD는 다음과 같다.
![{\displaystyle \omega _{D}=\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e11ae5cc1b8e29cce6e5d67704177f375e35c6e)
같이 보기[편집]