확률론 에서 확률 과정 (確率過程, 영어 : stochastic process )은 시간의 진행에 대해 확률 적인 변화를 가지는 구조를 의미한다.
확률 과정의 개념은 일련의 확률 변수들의 족으로, 또는 함수 값의 확률 변수로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치 이다. (이 두 정의의 동치는 집합의 범주가 데카르트 닫힌 범주 이기 때문이다.)
확률 변수의 족을 통한 정의 [ 편집 ] 확률 과정 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
집합
T
{\displaystyle T}
지표 집합 (指標集合, 영어 : index set )이라고 한다.가측 공간
S
{\displaystyle S}
표본 공간 (標本空間, 영어 : sample space )이라고 한다.함수
T
×
Ω
→
S
{\displaystyle T\times \Omega \to S}
(
t
,
ω
)
↦
X
t
(
ω
)
{\displaystyle (t,\omega )\mapsto X_{t}(\omega )}
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
X
t
{\displaystyle X_{t}}
가측 함수 이다. 즉,
X
t
{\displaystyle X_{t}}
확률 변수 이다. 만약 모든
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
X
t
{\displaystyle X_{t}}
확률 분포 를 갖는다면, 확률 과정을 정상 과정 (正常過程, 영어 : stationary process )이라고 한다.
함수 값의 확률 변수로서의 정의 [ 편집 ] 다음이 주어졌다고 하자.
집합
T
{\displaystyle T}
지표 집합 (指標集合, 영어 : index set )이라고 한다.가측 공간
S
{\displaystyle S}
표본 공간 (標本空間, 영어 : sample space )이라고 한다.그렇다면,
T
{\displaystyle T}
정의역 으로,
S
{\displaystyle S}
공역 으로 하는 모든 함수 들의 집합
S
T
{\displaystyle S^{T}}
을 생각하자. 여기에 다음과 같은 부분 집합
G
⊆
Pow
(
S
T
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \operatorname {Pow} (S^{T})}
A
∈
G
⟺
∀
t
∈
T
:
{
f
(
t
)
:
f
∈
F
}
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {G}}\iff \forall t\in T\colon \{f(t)\colon f\in F\}\in {\mathcal {F}}}
이제,
S
T
{\displaystyle S^{T}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
시그마 대수
σ
(
G
)
{\displaystyle \sigma ({\mathcal {G}})}
가측 공간 을 이룬다.
확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
T
{\displaystyle T}
S
{\displaystyle S}
확률 과정 은
S
T
{\displaystyle S^{T}}
확률 변수
X
:
Ω
→
S
T
{\displaystyle X\colon \Omega \to S^{T}}
동치 관계 [ 편집 ] 확률 과정에 대하여, 확률 동치 (確率同値,, 영어 : stochastic equivalence )와 구별 불가능 (區別不可能, 영어 : indistinguishability )이라는 두 동치 관계 가 존재한다. 전자는 후자보다 더 거친 동치 관계 이다. 즉, 서로 구별 불가능한 두 확률 과정은 서로 확률 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 못한다.
같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간 을 갖는 두 확률 과정
(
X
t
:
Ω
→
S
)
t
∈
T
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}}
(
Y
t
:
Ω
→
S
)
t
∈
T
{\displaystyle (Y_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
확률 동치 (確率同値, 영어 : stochastically equivalent )라고 한다.
임의의
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
Pr
(
X
t
=
Y
t
)
=
1
{\displaystyle \Pr(X_{t}=Y_{t})=1}
{
ω
∈
Ω
:
X
t
(
ω
)
≠
Y
t
(
ω
)
}
⊆
Ω
∖
N
t
{\displaystyle \{\omega \in \Omega \colon X_{t}(\omega )\neq Y_{t}(\omega )\}\subseteq \Omega \setminus N_{t}}
Pr
(
N
t
)
=
0
{\displaystyle \Pr(N_{t})=0}
가측 집합
N
t
⊆
Ω
{\displaystyle N_{t}\subseteq \Omega }
N
t
{\displaystyle N_{t}}
t
{\displaystyle t}
같은 지표 집합 · 표본 공간 · 확률 공간 을 갖는 두 확률 과정
(
X
t
:
Ω
→
S
)
t
∈
T
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}}
(
Y
t
:
Ω
→
S
)
t
∈
T
{\displaystyle (Y_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
구별 불가능 (區別不可能, 영어 : indistinguishable )라고 한다.
Pr
(
∀
t
∈
T
:
X
t
=
Y
t
)
=
1
{\displaystyle \Pr(\forall t\in T\colon X_{t}=Y_{t})=1}
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
{
ω
∈
Ω
:
X
t
(
ω
)
≠
Y
t
(
ω
)
}
⊆
Ω
∖
N
{\displaystyle \{\omega \in \Omega \colon X_{t}(\omega )\neq Y_{t}(\omega )\}\subseteq \Omega \setminus N}
Pr
(
N
)
=
0
{\displaystyle \Pr(N)=0}
가측 집합
N
⊆
Ω
{\displaystyle N\subseteq \Omega }
N
{\displaystyle N}
t
{\displaystyle t}
분해 가능 확률 과정 [ 편집 ] 분해 가능 공간
T
{\displaystyle T}
보렐 가측 공간
S
{\displaystyle S}
(
X
t
:
Ω
→
S
)
t
∈
T
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}}
(
U
,
Ω
0
)
{\displaystyle (U,\Omega _{0})}
(
X
t
)
t
∈
T
{\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}
분해 가능 확률 과정 (영어 : separable stochastic process )이라고 한다.
U
⊆
T
{\displaystyle U\subseteq T}
T
{\displaystyle T}
조밀 집합 이며, 가산 집합 이다.임의의 열린집합
G
⊆
T
{\displaystyle G\subseteq T}
닫힌집합
F
⊆
S
{\displaystyle F\subseteq S}
Pr
(
(
∀
t
∈
G
∩
U
:
X
t
∈
F
)
∧
(
∃
t
∈
G
:
X
t
∉
F
)
)
=
0
{\displaystyle \Pr((\forall t\in G\cap U\colon X_{t}\in F)\land (\exists t\in G\colon X_{t}\not \in F))=0}
가측 집합
Ω
0
⊆
Ω
{\displaystyle \Omega _{0}\subseteq \Omega }
Pr
(
Ω
0
)
=
0
{\displaystyle \Pr(\Omega _{0})=0}
⋂
t
∈
G
∩
U
X
t
−
1
(
F
)
∖
⋂
t
∈
G
X
t
−
1
(
F
)
⊆
Ω
0
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{t\in G\cap U}X_{t}^{-1}(F)\setminus \bigcap _{t\in G}X_{t}^{-1}(F)\subseteq \Omega _{0}}
다시 말해, 분해 가능 확률 과정의 경우, 그 성질이 가산 개의 확률 변수
(
X
t
)
t
∈
U
{\displaystyle (X_{t})_{t\in U}}
두브 정리 (영어 : Doob’s theorem )에 따르면, 임의의
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
조지프 두브 가 증명하였다.)
확률 과정
X
:
Ω
→
S
T
{\displaystyle X\colon \Omega \to S^{T}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
측도 를
S
T
{\displaystyle S^{T}}
밀어서
S
T
{\displaystyle S^{T}}
확률 측도 를 정의할 수 있다. 즉, 이는 구체적으로 다음과 같다.
Pr
(
A
)
=
Pr
(
∃
f
∈
A
:
∀
t
∈
T
:
f
(
t
)
=
X
t
)
∀
A
⊆
S
T
{\displaystyle \Pr(A)=\Pr(\exists f\in A\colon \forall t\in T\colon f(t)=X_{t})\qquad \forall A\subseteq S^{T}}
이에 따라 함수 공간
S
T
{\displaystyle S^{T}}
확률 공간 을 이룬다. 이를 확률 과정
X
{\displaystyle X}
법칙 (法則, 영어 : law )이라고 한다. (예를 들어, 위너 확률 과정 의 법칙은 위너 공간 의 확률 측도 이다.)
콜모고로프 연속성 정리 [ 편집 ] 다음이 주어졌다고 하자.
확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
완비 거리 공간
(
S
,
d
)
{\displaystyle (S,d)}
확률 과정
(
X
t
:
Ω
→
S
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in [0,\infty )}}
양의 실수
α
,
β
,
K
∈
R
+
{\displaystyle \alpha ,\beta ,K\in \mathbb {R} ^{+}}
또한, 다음이 성립한다고 하자.
E
(
d
(
X
s
,
X
t
)
α
)
≤
K
|
s
−
t
|
1
+
β
∀
s
,
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mathbb {E} (d(X_{s},X_{t})^{\alpha })\leq K|s-t|^{1+\beta }\qquad \forall s,t\in [0,\infty )}
그렇다면,
X
{\displaystyle X}
거의 확실하게 연속 함수 인 확률 과정
(
X
~
t
:
Ω
→
S
)
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle ({\tilde {X}}_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in [0,\infty )}}
콜모고로프 연속성 정리 라고 한다.
1933년에 안드레이 콜모고로프 가 확률론의 기초를 닦았다. 이후 이를 기반으로 1930년대에 콜모고로프와 조지프 두브 · 윌리엄 펠러(영어 : William Feller ) · 모리스 르네 프레셰 · 폴 피에르 레비(프랑스어 : Paul Pierre Lévy ) · 볼프강 되블린(독일어 : Wolfgang Doeblin ) · 하랄드 크라메르 등이 확률 과정의 이론을 전개하였다.
제2차 세계 대전 으로 인하여 확률 과정 이론의 발달은 잠시 중단되었다. 특히, 되블린은 유대인 이었으며, 프랑스에 망명하였으나 나치 독일 이 프랑스를 침공하자 나치에 체포되기 직전 자살하였다.
전후 조지프 두브 와 이토 기요시 · 가쿠타니 시즈오 등이 확률미적분학 을 개발하였다.
1960년대 · 1970년대에는 알렉산드르 드미트리예비치 벤첼(러시아어 : Александр Дмитриевич Вентцель ) · 먼로 돈스커(영어 : Monroe D. Donsker ) · 스리니바사 바라단 등이 이 분야에 공헌하였다.
외부 링크 [ 편집 ]
