편미분방정식

수학에서 편미분 방정식(偏微分方程式, 영어: partial differential equation, 약자 PDE)은 여러 개의 독립 변수로 구성된 함수와 그 함수의 편미분으로 연관된 방정식이다. 각각의 변수들의 상관관계를 고려하지 않고 변화량을 보고 싶을 때 이용할 수 있으며, 상미분방정식에 비해 응용범위가 훨씬 크다. 소리나 열의 전파 과정, 전자기학, 유체역학, 양자역학 등 수많은 역학계에 관련된 예가 많다.

정의

$M$과 $N$이 매끄러운 다양체라고 하자. 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴의 미분 방정식이다.

$F(x,u,\nabla _{i}u,\nabla _{i}\nabla _{j}u,\dots ,\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}u)=0$

$x\in M,\;u\colon M\to N$

여기서 미분 연산자의 최고 계수 $k$를 편미분 방정식의 계수(영어: order)라고 하며, 이러한 꼴의 편미분 방정식을 $k$계 편미분 방정식이라고 한다. 만약 다양체 $N$이 2차원 이상이라면 이를 연립 편미분 방정식이라고 하며, 만약 $N$이 1차원이라면 비연립 편미분 방정식이라고 한다.

분류

1계 편미분 방정식

1계 편미분 방정식은 대체로 특성곡선법을 사용하여 풀 수 있다. 매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반적인 (비연립) 1계 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

$F(x,u,\partial u/\partial x)=0\qquad (x\in M,\;u(x)\in \mathbb {R} )$

여기서 $u_{x_{i}}=\partial u/\partial x_{i}$이다. 이 경우, 임의의 해 $u(s)=u(x^{i}(s))$는 다음과 같은 상미분 방정식을 만족시킨다.

${\frac {{\dot {x}}_{i}}{\partial F/\partial (\partial u/\partial x_{i})}}=-{\frac {1}{\partial F/\partial x_{i}+(\partial u/\partial x^{i})\partial F/\partial u}}{\dot {p}}^{i}={\frac {\dot {u}}{\sum _{i}p_{i}(\partial F/\partial p_{i})}}$

따라서, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다.

2계 편미분 방정식

매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반적인 (비연립) 2계 편미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

$Q(\nabla _{i}\nabla _{j}u,x)+F(\nabla _{i}u,u,x)=0\qquad (x\in M,\;u(x)\in \mathbb {R} )$

따라서, $Q\colon M\to \operatorname {Sym} ^{2}TM$는 $M$의 각 점에 실수 이차 형식을 정의한다. 이는 실베스터 관성법칙에 따라 이차 형식의 고윳값들의 부호에 따라서 분류할 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 점 $x\in M$에서

• 만약 $Q_{x}$의 모든 고윳값들이 양수라면, 이 2계 편미분 방정식이 타원형 편미분 방정식(영어: elliptic partial differential equation)이라고 한다.
  • 라플라스 방정식 $u_{yy}+u_{xx}=0$이 대표적인 예이다.
• 만약 $Q_{x}$의 모든 고윳값들이 음이 아닌 실수이며, 0인 고윳값이 존재한다면, 이 2계 편미분 방정식이 포물형 편미분 방정식(영어: parabolic partial differential equation)이라고 한다.
  • 열 방정식 $u_{t}-u_{xx}=0$이 대표적인 예이다.
• 만약 $Q_{x}$가 음의 고윳값을 갖는다면, 이 2계 편미분 방정식이 쌍곡형 편미분 방정식(영어: hyperbolic partial differential equation)이라고 한다.
  • 파동 방정식 $u_{tt}-u_{xx}=0$이 대표적인 예이다.

타원형·포물형·쌍곡형 방정식들은 각각 현저히 다른 현상을 보인다.

선형 편미분 방정식

매끄러운 다양체 $M$에서 벡터 공간 $V$로 가는 함수 $u\colon M\to V$에 대한 선형 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

$c_{0}(x)u(x)+c_{1}^{i}(x)\nabla _{i}u(x)+c_{2}^{ij}(x)\nabla _{i}\nabla _{j}u(x)+\cdots +c_{k}^{i_{1}\cdots i_{k}}(x)\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}u(x)=0$

이는 $M$ 위의, $V$값을 갖는 매끄러운 함수들의 벡터 공간 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,V)$ 위에 정의된 선형작용소의 고윳값 방정식이다. 즉, 이 경우 해 $u(x)$는 선형작용소

$T=c_{0}(x)+c_{1}^{i}(x)\nabla _{i}+\cdots +c_{k}^{i_{1}\cdots i_{k}}(x)\nabla _{i_{1}}\cdots \nabla _{i_{k}}$

에 대하여 고윳값이 0인 고유벡터를 이룬다. 이 경우, 함수해석학과 작용소 이론을 적용할 수 있다.

예

• 열 방정식
• 파동 방정식
• 전신 방정식
• 슈뢰딩거 방정식
• 라플라스 방정식
• 푸아송 방정식
• 헬름홀츠 방정식
• 맥스웰 방정식
• 런던 방정식
• 연속 방정식
• 라그랑주 방정식
• 해밀턴 방정식
• 해밀턴-야코비 방정식
• 나비에 스토크스 방정식

참고 문헌

• Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-15496-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Andrei D. Polyanin, William E. Schiesser, Alexei I. Zhurov. “Partial differential equation”. 《Scholarpedia》 3 (10): 4605. doi:10.4249/scholarpedia.4605.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)

외부 링크

• “Differential equation, partial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Linear partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • “Linear elliptic partial differential equation and system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • “Linear parabolic partial differential equation and system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • “Linear hyperbolic partial differential equation and system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Non-linear partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Differential equation, partial, of the second order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • “Elliptic partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
    • “Elliptic partial differential equation, numerical methods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • “Parabolic partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
    • “Parabolic partial differential equation, numerical methods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  • “Hyperbolic partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
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• Weisstein, Eric Wolfgang. “Partial Differential Equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.