조르당 표준형

조르당 표준형(Jordan normal form, -標準型)은 선형대수학에서 사용하는 행렬의 표준형 중 하나로, 기본적으로 대각화가 가능하지 않은 행렬들에 대해 대각행렬과 유사한 꼴의 행렬로 변환하는 기법에 이용된다. 프랑스 수학자 카미유 조르당의 이름이 붙어 있다.

정의

어떤 n차 복소 정사각행렬 A의 조르당 표준형 J_A는 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다. 존재성은 증명되어 있다.

$J_{A}={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{k}\end{bmatrix}}$

여기서 각 $J_{i}$ (1≤i≤k≤n)는 조르당 블록(Jordan block)이라 불리는 적당한 크기의 정사각행렬로,

$J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.$

와 같은 꼴인데, $\lambda _{i}$ 는 모두 같은 대응하는 A의 고유값이 된다. 조르당 블록의 개수는 일차독립인 A의 고유벡터의 개수와 일치한다.

이때, 임의의 행렬 A의 조르당 표준형 $J_{A}$에 대하여, 적당한 가역행렬 P가 존재하여 $A=P^{-1}J_{A}P$ 를 만족한다. 조르당 표준형에서 (j, j+1) 성분에 들어가는 1은 있을 수도, 없을 수도 있다. 1이 하나도 없는 조르당 표준형은 그대로 대각행렬이 된다. 이러한 경우 A는 대각화 가능인데, 이렇게 될 필요충분조건은 모든 고유값의 대수적 중복도를 모두 더한 값과 기하적 중복도를 모두 더한 값이 n으로 일치하는 것이다. 일반적으로 대수적 중복도의 합이 기하적 중복도의 합보다 같거나 크므로, 기하적 중복도의 합이 대수적 중복도의 합보다 작게 될 경우 대각화 불가능하고, 그 조르당 표준형은 적어도 하나의 (j, j+1) 성분이 1을 가지는 조르당 표준형이 된다.

일반적으로 조르당 표준형의 성분들은 복소수일 수도 있고 실수일 수도 있는데, A가 실수 행렬일 경우 이하에서 설명할 일반적인 방법으로 조르당 표준형을 구할 경우 복소수 성분이 나올 수도 있다. 그러나, (j, j-1) 성분을 사용하여 실수 성분만 가진 행렬을 만들 수도 있다. 이에 대해서는 자세한 설명을 생략한다.

구하는 방법

어떤 n차 복소 정사각행렬 A의 조르당 표준형은 다음 네 가지 요소를 계산하면 P를 직접적으로 계산하지 않고 곧바로 구성할 수 있다.

1. A의 고유값(중복을 고려하여 $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$)
2. 고유값의 중복도
3. 고유값에 대응하는 고유벡터
4. 각 고유벡터 $\mathbf {x} _{i}$ 와 그에 대응하는 고유값 $\lambda _{j}$ 에 대하여 고유벡터의 $(A-\lambda _{j}I)$ 에 대한 주기(period)

사례

예를 들어, 5차 정사각행렬 A의 고유값이 중복을 고려하여 1, 2, 2, 2, 2이고, 고유값 1에 대응하는 고유벡터는 하나, 고유값 2에 대응하는 고유벡터는 2개가 있으며, 고유값 1에 대응하는 고유벡터의 (A - I)에 대한 주기는 1, 고유값 2에 대응하는 첫 번째 고유벡터의 (A - 2I)에 대한 주기는 3, 두 번째 고유벡터의 (A - 2I)에 대한 주기는 1이라 하자. 그러면 고유벡터가 세 개이므로 조르당 블록은 세 개가 된다. 또, 같은 고유값의 고유벡터들에 대해 주기가 큰 것부터 작은 것으로 배열한다. 그러면 실제로 각 고유벡터에 대한 조르당 블록은,

$J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}.$

$J_{2}={\begin{bmatrix}2&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}}.$

$J_{3}={\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}.$

와 같이 된다. 이제 이를 이용해 A의 조르당 표준형을 구하면 다음과 같다.

$J_{A}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&2&1&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&0\\0&0&0&0&2\end{bmatrix}}.$

유일성

어떤 정사각행렬 A에 대해 그 조르당 표준형은 조르당 블록의 배열 순서를 무시하면 유일하게 결정된다. 조르당 블록의 배열 순서는 정해진 규칙이 없지만, 보기 좋게 하기 위해 일반적으로 같은 고유값에 대해서는 주기가 높은 순에서 낮은 순이 사용된다.

응용

• 조르당 표준형을 만든 후 즉시 대입을 통해 다음 스펙트럼 사영 정리를 증명할 수 있다.

n차 정사각행렬 A의 고유값을 중복을 고려하여 $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ 라 할 때, 임의의 다항식 p(x)에 대하여 p(A)의 고유값은 $p(\lambda _{1}),...,p(\lambda _{n})$ 이 된다.

• 조르당 표준형에서 즉시 대입을 통해 케일리-해밀턴 정리를 일반적인 경우에 증명할 수 있다.
• 조르당 표준형을 구하는 과정에서 얻은 값으로 행렬의 극소다항식을 구할 수 있다.
• 조르당 표준형을 이용하여 어떤 행렬 A의 행렬 지수 표현 $e^{A}$ 를 쉽게 계산할 수 있다.

같이 보기

• 대각화
• 스펙트럼 사영 정리
• 케일리-해밀턴 정리
• 극소다항식
• 표준형
• 프로베니우스 표준형

참고 문헌

• Serge Lang, 정자자 역, 《선형대수학》, 경문사, 2004.