파라콤팩트 공간

파라컴팩트 공간(프랑스어: Espace paracompact 에스파스 파라콩팍트^[*], Paracompact space, -空間)은 위상공간으로서, 컴팩트 공간을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. 미분위상수학 및 미분기하학 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라컴팩트 공간이며, 이 공간은 단위 분할(partition of unity) 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 리만 계량, 미분 형식의 적분 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다. 1944년 부르바키의 프랑스 수학자 장 디외도네가 처음으로 제시하였다.

정의

파라컴팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.

• 위상공간 X가 파라컴팩트 공간일 필요충분조건은 X의 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 세분(refinement) 열린 덮개를 갖는 것이다.

X의 열린 덮개 {$U_{\alpha }$} 가 국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 $W_{x}$ 가 존재하여 유한 개의 $\alpha$ 에 대해서만 $W_{x}\cap U_{\alpha }\neq \phi$ 을 만족한다는 의미이다.

성질

파라컴팩트 공간은 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.

• 컴팩트 공간은 파라컴팩트 공간이다.
• 파라컴팩트 공간은 메조컴팩트 공간이다.
• 파라컴팩트인 희박 컴팩트 공간은 컴팩트 공간이다.
• 파라컴팩트 공간은 준파라컴팩트 공간이다.
• 준파라컴팩트인 정칙공간은 파라컴팩트 공간이다.
• (디외도네의 정리) 파라컴팩트 하우스도르프 공간은 $T_{4}$공간이다.
• 파라컴팩트 공간의 닫힌 부분공간은 파라컴팩트 공간이다.
• (모리타의 정리) $T_{4}$ 린델뢰프 공간은 파라컴팩트 공간이다.
  • 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, 정칙공간 조건과 파라컴팩트 조건은 동치이다.
• (스미르노프 거리공간화 정리) 위상공간에 대하여 '파라컴팩트 $T_{2}$ 이고 국소적 거리화 가능'이라는 성질은 '거리공간화 가능'이라는 성질과 동치이다.
• 파라컴팩트 공간과 컴팩트 공간의 곱공간은 파라컴팩트 공간이다.
• 위상공간 X가 $T_{4}$공간일 때, X에서 유한 개 닫힌 파라컴팩트 부분집합들의 합집합 역시 파라컴팩트 집합이다.
• 위상공간 X가 $T_{4}$공간일 때, X에서 가산 개 닫힌 파라컴팩트 부분집합들의 내부가 이루는 집합족이 X의 덮개가 될 때, 그 합집합 역시 파라컴팩트 집합이다.
• 위상공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 완전사상이 존재한다면, Y가 파라컴팩트일 때 X도 파라컴팩트이고, Y가 파라컴팩트 하우스도르프 공간일 때 X도 파라컴팩트 하우스도르프 공간이다.
• G가 국소 컴팩트 연결공간인 위상군이라면, G는 파라컴팩트 공간이다.

한편, 일반적으로 파라컴팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라컴팩트 공간이 되지 않으므로 파라컴팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 컴팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 컴팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라컴팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라컴팩트 공간이 되지 않는다.

참고 문헌

• James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall
• 조용승, 《위상수학》, 경문사, 2010