훅의 법칙

훅의 법칙(영어: Hooke's law)은 용수철과 같이 탄성이 있는 물체가 외력에 의해 늘어나거나 줄어드는 등 변형되었을 때 자신의 원래 모습으로 돌아오려고 반항하는 '복원력'의 크기와 변형의 정도의 관계를 나타내는 물리 법칙이다.

금속 용수철이나 고무봉 등은 외부에서 힘이 가해지지 않았을 때 고유의 모양, 1차원적으로만 한정해 보면 자연적인 길이를 갖는다. 이런 자연스러운 길이는 외부에서 힘이 가해지면 늘어나거나 줄어들게 되는데, 이 때 원래 모양으로 돌아오려는 복원력이 작용하게 되며 이런 성질을 탄성이라고 하며, 이런 성질이 강한 물체를 탄성체라고 부른다.

많은 탄성체에서는 변형의 정도가 작을 때 복원력과 변형량 사이에 비례관계가 성립한다. 이것을 그 발견자인 17 세기 영국 물리학자 로버트 훅의 이름을 기념하여 훅의 법칙이라고 부른다. 훅의 법칙은 판이나 봉의 휨 같은 다차원적인 변형에서도 똑같이 성립된다.

매끈하고 수평인 마루 위에 용수철을 둔다. 용수철의 오른쪽 방향을 양의 x 축이라고 하자. 용수철 왼쪽 끝을 고정하고 외력이 없을 때 오른쪽 끝의 위치를 x 의 원점으로 잡자. 용수철 길이가 변했을 때, 오른쪽 끝의 x 좌표로 변형 상태를 나타내기로 한다. x > 0 이면 늘어난 것이고, x < 0 이면 줄어든 것이다. 용수철 길이의 변화가 x 일 때의 복원력을 F 로 하자. 힘이 오른쪽 방향이면 F > 0 이고, 왼쪽 방향이면 F < 0 이라 한다. 이 때, 훅의 법칙은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$F=-kx$

이 때 k 를 용수철 상수라고 부른다. 용수철 상수는 용수철의 힘 혹은 유연한 정도를 나타내는 상수로 각각의 용수철마다 다른 값을 갖는다.

훅의 법칙의 텐서 표현

어떤 삼차원 물체가 변형되는 것을 표현할 때, 훅의 법칙의 텐서 표현을 사용해 이를 표현할 수 있다. 훅의 법칙의 텐서 표현은 변형력텐서 $\sigma _{ij}$와 변형텐서 $\epsilon _{ij}$의 관계를 설명해주는 법칙으로, 다음과 같이 4계 텐서인 탄성상수텐서 $C_{ijkl}$를 사용해 두 텐서의 관계를 연결해 준다.

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\epsilon _{kl}$

여기서 아인슈타인 표기법이 쓰였다.

같이 보기

• 고체 역학